Объемы и площади в метрической геометрии.

• Автор: Иванов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 216 с.

Оглавление
Введение
Мотивирующие задачи
Содержание работы и результаты
1 Плотности и площади
1.1 Интегрирование плотностей
1.2 Кусочно линейные цепи и поверхности
1.3 Полуэллиптичность
1.4 Заполняющие площади и полуэллиптичеекие оболочки
1.5 Приближение цепей поверхностями
2 Полуэллиптичность над И и Z
2.1 Результирующий /г-вектор цепи
2.2 Полуэллиптичность и выпуклая продолжимость
2.3 Теорема Минковекого для старших коразмерностей
2.4 Взвешенный гауссов образ поверхности
2.5 Нелинейное ограничение
2.6 Теорема неэквивалентности
3 Финслеровы объемы
3.1 Нормы и эллипсоид Джона
3.2 Финслеровы метрики
3.3 Примеры финслеровых объемов
3.4 Функционалы объема
3.5 Дальнейшие свойства .'
4 Лишпицевы метрики
4.1 Метрики и длины
4.2 Касательная фиислерова структура
4.3 Объем липшицевой метрики
4.4 Слабая дифференцируемость

4.5 Слабый дифференциал и метрика
4.6 Поверхности в L°°

5 Заполняющие объемы
5.1 Определения
5.2 Сглаживание липшицевых метрик
5.3 Продолжение нерастягивающих отображений
5.4 Минимальные заполнения как минимальные поверхности
6 Следствия полуэллиптичности
6.1 Минимальность плоских заполнений
6.2 Полунепрерывность объема
6.3 Асимптотические объемы периодических метрик
6.4 Эквивалентность свойств
7 Двумерный объем по Холмсу—Томпсону
7.1 Формулировки 138
7.2 Свойства геодезических
7.3 Циклические отображения
7.4 Доказательство теоремы
7.5 Пример пространства с невыпуклой площадью
8 Объем по Лёвнеру
8.1 Свойство сжатия
8.2 Пределы по Громову-Хаусдорфу
8.3 Достаточные условия полунепрерывности
8.4 Двумерный случай
9 Периодические римановы метрики
9.1 Критерий изометричноети
9.2 Эквивариантные проекции периодических метрик
9.3 Оценка асимптотического объема в К"
9.4 Обобщения неравенства Лёвнера

10 Почти плоские метрики
10.1 Формулировки и предварительные сведения
10.2 Поверхности и риманова структура в С = L°°(S)
10.3 Первая вариация площади
10.4 Оценка SJ и доказательство теоремы
Список литературы

Введение
Мотивирующие задачи
В диссертации исследуются объемы и площади римановых, фиислеровых и более общих липшицевых метрик на многообразиях, а также поверхностей в банаховых пространствах. Целыо является изучение общих вопросов об этих структурах и приложения в различных областях, таких, как теория заполняющих объемов, асимптотическая геометрия, систолическая геометрия, геометрия многогранников, вариационное исчисление, краевые обратные задачи. Перечислим некоторые вопросы, которые мотивировали эти исследования и на которые в диссертации даются частичные или полные ответы.
1. Минимальные заполнения. Пусть 5 — замкнутое (п— 1)-мерное гладкое многообразие, и пусть (I : Б х 5 —> Д+ — произвольная метрика на 5. М. Громов [63] ввел понятие заполняющего объема ПЦУоДУ б.) пространства (5, б). По определению, заполняющий объем равен инфимуму объемов таких компактных п-мерных римановых многообразий (М, д), что дМ = 61 и бд(х, у) > б(х, у) для всех х, у 6 £ где бч — расстояние в М, определяемое римановой метрикой д.
Риманово многообразие (А/, д) называется минимальным заполнением, если оно реализует этот инфимуы для какой-нибудь функции б, или, что то же самое, для функции расстояния бд, ограниченной на Б х 5. Другими словами, (М, д) является минимальным заполнением, если для любого компактного римапова многообразия (М'д'), удовлетворяющего условиям ЭМ' = дМ и
бд-(х,у) > бд(х,у) для любых х, у 6 дМ,
выполняется неравенство
уо1(М', д') > уо1 (Л/, д),
где уо1 — риманов объем.
Для некоторых задач удобно ограничить топологический тип многообразий М' в определении заполняющего объема, например, рассматривать только многообразия, диффеоморфные М. По причинам, объясняемым ниже, имеет смысл рассматривать

(2) dy(f(x), f{x')) — dx(x, ,r')| < £ для любых x, x' 6 X.
Нижняя грань тех £, для которых / является е-изометрией, будем называть погрешностью отображения ср и обозначать через err(ip).
Последовательность {Х*,} метрических пространств сходится по Громову—Хаус-дорфу к метрическому пространству X (обозначение: X* X) тогда и только тогда, когда существует последовательность отображений Д : Хк —> X с егг(Д.) —v 0. Такие последовательности будут называться последовательностями почти изометрий.
Если топология пространства X достаточно хорошая (например, Х~ является многообразием), то почти изометрии можно сделать непрерывными. Равномерная сходимость метрик на одном пространстве — частный случай сходимости по Громову-Хаусдорфу. В этом случае в качестве почти изометрий можно взять тождественное отображение.
Далее мы ограничиваемся случаем, когда сходящиеся и предельное пространства являются многообразиями, имеющими одинаковую размерность и > 2. Нетрудно убедиться, что даже риманов объем на классе замкнутых многообразий не полунепрерывен снизу. Мы доказываем полунепрерывность объема при естественных топологических ограничениях.
Пусть М и М' — многообразия одинаковой размерности, / : М' —> М — непрерывное отображение. Пусть U С М' — открытое множество, U П дМ' = 0. Будем говорить, что / имеет ненулевую степень над U, если сужение / на f~1(U) дМ', рассматриваемое как отображение в U, является собственным (то есть прообраз любого компакта компактен) и имеет ненулевую топологическую степень над Z или Z2. Отображение / : М' —> М имеет ненулевую степень, если оно имеет ненулевую степень над М дМ. (Как нетрудно видеть, из этого следует, что f{dM') С дМ.)
Теорема (8.2.3). Пусть (M,d), (ЛД,<Д), к — 1,2
vol(М, d) < lim vol(ik4, Д)
к—*оо
где vol — п-мерный объем по Лёвнеру.
В §8.3 выводятся достаточные условия полунепрерывности, формулируемые в терминах самих пространств, а не почти изометрий между ними. Для начала ограничимся случаем римановых на фиксированном замкнутом многообразии М. В [7] приведены примеры, показывающие, что даже в этом случае полунепрерывность объема может нарз'шаться при М = S3. Тем не менее, для многих топологических типов .многообразий ползгнепрерывность гарантирована. Так, имеет место следующая