Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах

• Автор: Файзуллин, Рамиль Рашитович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 61 с. : ил.

I Общие сведения
1.1 Прямые методы решения вариационных задач.
1.2 Метод вариаций для функционалов.
1.3 Условный экстремум.
II Связи неголономной метрики группы Гейзенберга и плоскости Грушина.
11.1 Геодезические плоскости Грушина.
11.2 Сферы метрики Грушина.
Н.З Дополнительные исследования плоскости Грушина.
П.4 Связь метрик группы Гейзенберга и плоскости Грушина
II.5 Доказательства теорем.
III Вариационная задача на плоскости Лобачевского
III.1 Неголономное распределение на расслоенном пространстве единичных касательных векторов.
Ш.2 Нахождение уравнений Эйлера-Лагранжа функционала для плоскости Лобачевского.
111.3 Исследование решений уравнений Эйлера-Лагранжа.
IV Уравнения для экстремалей функционала / /1 + к2{я)(1я на евклидовой плоскости.

IV.1 Выполнимость уравнений Эйлера-Пуассона для экстремали.
1У.2 Экстремали на расслоении единичных касательных векторов над евклидовой плоскостью.
Библиография

Актуальность темы. Задачи оптимального управления на группах Ли имеют прикладное и теоретическое значение, в первую очередь в плане выбора экстремальных (оптимальных) решений проблем. Реальные проблемы очень часто ведут к поиску наилучших решений в непрерывном множестве допустимых.
Определение 1. Метрическое пространство называется пространством с внутренней метрикой, если расстояние между двумя его точками есть точная нижняя грань длин спрямляемых кривых, соединяющих эти точки
Определение 2. Пространство М с внутренней метрикой р называется однородным, если группа всех движеиий(изометрий) С? пространства М действует транзитивно на М.
Любая точка х однородного пространства М определяет подгруппу Сх = {<7 £ 0дх = ж} группы движений б. Она называется стабилизатором точки х. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе С? с помощью внутренних автоморфизмов. С замкнутой подгруппой Н вида Ох группы б связано некоторое однородное пространство с группой изометрий б - множество
М = б/Я
левых классов смежности группы б по подгруппе Н, на котором б действует по формуле
д(аН) = (да)Н-д,а £ С?
Это однородное пространство называется фактор-прострапством группы С по подгруппе Н, а подгруппа Я становится стабилизатором точки еН — Я этого пространства, где е - единица группы С.
Любое однородное пространство М с группой изометрий С? можно отождествить с фактор-пространством группы б по подгруппе Я = бх, являющейся стабилизатором фиксированной точки х £ М.
Вариационные задачи имеют обширную предысторию, потому здесь ограничимся упоминанием недавних работ, связанных с решавшейся проблемой. Так в работах [7, б] изучение метрического строения однородных многообразий с внутренней метрикой доставило следующий результат: однородные
пространства М с внутренней метрикой - это в точности фактор-пространства б/Я связных групп Ли б по их
Уравнения для экстремалей функционала / уТ+кДв)^ на евклидовой плоскости.
Мы рассматриваем вариационную задачу вида:
для траекторий евклидовой плоскости с фиксированными концами и касательными векторами на концах.
ГУЛ Выполнимость уравнений Эйлера-Пуассона для экстремали.
В [8] среди решений были получены как окружности и их вырожденный случай - прямые, так и другие кривые. Для одной из них существует параметризация элементарными функциями
Было интересно проверить выполнимость для неё уравнений Эйлера-Пуассона [1]
Эти уравнения для функционала = / у1 + ге2(бф/5 при произвольной регулярной параметризации приводятся к виду
А именно, рассмотрев задачу
х{1) = А/(/ - /0) - іН(М{у - /о)); у(і) = 1 /сіі(і - ІоУ,
ду М ду' сИ2 ду"
находим, что его частная производная по х’ имеет вид:
ад _ хх'2 + у12)3 + {х'у" - у'х"){у'2у" - х'2у" + 2х'у'х")