О геометрии транссасакиевых многообразий

• Автор: Аила Демедерос
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
§] .Почти контактные метрические структуры
§2.Почти эрмитовы структуры и их структурные уравнении
§3.Зависимость между тензорами почти контактной метрической
структуры и тензорами её линейного расширения
Глава 2. Транссасакиевы структуры
§1 .Определение и структурные уравнения транссасакиевых
многообразий
§2.Свойства транссасакиевых многообразий
§3.Вычисление некоторых классических тензоров транссасакиевой
структуры
Глава 3. Свойства изотропности транссасакиевых многообразий
§ 1 .Транссасакиевые многообразия постоянной кривизны
§2.Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны
транссасакиевых многообразий
§З.Эйнштейновость и квазиэйнштейновость транссасакиевых
многообразий
Глава 4. Тождества кривизны и подклассы транссасакиевых многообразий
§ 1 .Тождества кривизны транссасакиевых многообразий
§2.Дополнительные тождества кривизны транссасакиевых
многообразий
§З.Классы транссасакиевых многообразий
Список литературы
Введение

Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например в классической механике и теории геометрического квантования, в теории супергравитации Калуцы-Клейна. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей риманова многообразия. Более пятидесяти лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров.
Начало изучения почти контактных структур относится к 1953 году, когда в своих работах Чжень рассматривал дифференцируемые многообразия М размерности 2п + 1 с фиксированной на них контактной формой Л: г]Л(с1г1)п Ф 0. Он установил [41], что такое многообразие допускает С-структуру со структурной группой {1} 0 и{п). Позднее многообразия, допускающие такую С-структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Им же было введено понятие почти контактного метрического многообразия [56].
В 1960 году появляется работа Сасаки [79], в которой автор отмечает, что многообразие, допускающее О'-структуру со структурной группой {1}®1/(п), несет внутренним образом определенную тройку тензоров {Ф, т]}, обладающих свойствами:
1) 77(0 = 1; 2)(]оФ = 0; 3) Ф2 = -1с1 + л ® (•

Сасаки показал, что на многообразии М всегда существует положительно определенная метрика g = (у) такая что
1) V(X) = <(, X); 2) (ФХ, ФУ) = (X, У) - д(Х)д(,У), VX, У Є ЗЄ(М), дополняющая почти контактную {Ф, (, г/}-структуру до метрической, где Ф -тензор типа (1,1), называемый структурным оператором или структурным эндоморфизмом, ( - вектор, g - ковектор, называемые структурным вектором и ковектором соответственно.
Сасаки и Хатакеуяма [80] доказали, что на многообразии М х R, где М - многообразие с заданной на нем {Ф, многообразие М, т.е. многообразие с заданной на нем
(Ф, rj, g} —структурой. Вместе с Сасаки они доказали, что на декартовом произведении М х R естественным образом определяется почти комплексная структура У, которая вместе с метрикой прямого произведения, т.е. с
метрикой G = (бя/0 = e~2t ^ j задает почти эрмитову структуру на
многообразии М х R.
Хервелла JL и Грей А.[54] в 1980 году систематизировали почти эрмитовы структуры. Естественно, перед геометрами возникла задача о классификации почти контактных метрических структур на многообразии М в соответствии со систематизацией эрмитовой структуры,
индуцированной на многообразии М х R. Так, например, классификацию пространств М2п+1 Накаяма [71] проводит следующим образом. Он нашел необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять различные геометрические объекты пространства М, такие, как Ф,^,т],д, объекты, полученные при первом продолжении этих объектов, тензор Нейенхейса и другие охваченные ими объекты для того, чтобы пространство М х R принадлежало к одному из классов почти эрмитовых многообразий. В этом направлении автор находит девять подклассов пространств с {Ф, д, д}-
3) ВаЬс = ±{С(£Б,ее) - С(є£>еБ)Г = Са^Ьс (2.22)
Основные свойства этих тензоров описываются следующей теоремой. Теорема 1.2.1. [7]. Тензоры В и С обладают следующими свойствами:
1)/ о віх, у) = В{]Х,¥) = -віх,т. 2) шх,у),г)) + ((¥,в(х,г))) = о; 3) ; о С(х, ¥) = -с(/х, У) = -С{Х,]¥У,
4) «ОД У), I)) + «У, С(ВД» = о. (2.23)
Следствие 1.2.1. [7]. Модифицированный виртуальный тензор С-линеен по первому и С-антилинеен по второму аргументам. Модифицированный структурный тензор С-антилинеен по обоим аргументам.
Следствие 1.2.2. [7]. На пространстве присоединенной (7-структуры справедливы соотношения:
1) ВаЪс + ВЪас = 0; 2) СаЬс + СЬас = 0. (2.24)
Теорема 1.2.2. [7]. Пусть (М,],д) - ЛЯ-многообразие. Каждый тензор типа (г, 1) на М рассматриваемый как г-линейное отображение Т:У(М) х ...хХ(М) —>Х(М), естественно представляется в виде суммы 2Г
г -раз
тензоров того же типа, С 0 (7со(М)-линейных либо С 0 С°°(М)-антилинейных по каждому аргументу.
Определение 1.2,3. [7]. Набор тензоров типа (т,1), линейных либо антилинейных по своим аргументам и в сумме составляющих тензор Т, называется спектром тензора Т, а сами тензоры называются элементами спектра.
Элемент спектра тензора характеризуется десятичным числом, у
которого единицы двоичной записи соответствуют номерам антилинейных
аргументов. Например, запись Т характеризует элемент спектра тензора Т,

антилинейный по первому, второму и четвертому аргументам, поскольку 13 = 1 ■ 23 + 1 ■ 22 + 0 ■ 2і + 1 ■ 2°.
Имеет место следующее предложение.