Геометрии выпуклых и конечных множеств геодезического пространства

• Автор: Сосов, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 256 с.

Оглавление
Введение

1 Выпуклые и конечные множества в геодезическом пространстве

1.1 Внутренняя метрика Хаусдорфа

1.2 Пространство всех IV-сетей и симметризованная степень порядка N метрического пространства

1.3 Выпуклые множества в обобщенном хордовом пространстве

1.4 Одулярные структуры геометрии Гильберта и прямого С-пространства Буземана

2 Аппроксимативные свойства множеств в геодезическом пространстве

2.1 Относительные чебышевский центр и чебышевский радиус ограниченного множества метрического пространства
2.2 Относительный чебышевский центр конечного множества геодезического пространства
2.3 Достаточные условия существования и единственности че-бышевского центра непустого ограниченного множества геодезического пространства
2.4 Обобщение некоторых теорем Б. Секефальви-Надь, С. Б. Стечкина и Н. В. Ефимова
2.5 Непрерывность и связность метрической
5-проекции в геодезическом пространстве

2.6 Непрерывность метрической «5-проекции на выпуклое множество в геодезическом пространстве
2.7 Наилучшие jV-сети ограниченных замкнутых выпуклых множеств в геодезическом пространстве
2.8 Наилучшая N-сеть и наилучшее сечение ограниченного множества в бесконечномерном пространстве Лобачевского
2.9 Наилучшее приближение выпуклого компакта геодезического пространства шаром
2.10 Касательное пространство по Буземану в точке геодезического пространства
Специальные отображения метрических пространств
3.1 Метрическое пространство слабо ограниченных отображений метрических пространств
3.2 Геодезические отображения специальных геодезических пространств
3.3 Полнота и собственность некоторых пространств отображений с метрикой Буземана
3.4 Пространство всех подобий метрического пространства с метрикой Буземана
3.5 Два аналога слабой сходимости в специальном метрическом пространстве
Список публикаций автора по теме диссертации и литература
Введение
Объектом исследования настоящей-работы являются проблемы геометрии выпуклых (конечных) множеств геодезического пространства. Актуальность. Метрическая геометрия возникла в 20-30-е годы, двадцатого века в работах К. Менгера, П. С. Урысона, А. Вальда, С. Э. Кон-Фоссена, К. Куратовского, Ф. Хаусдорфа, И. Шёнберга и других математиков. В этот начальный период метрическая геометрия еще не приобрела известность, а сам термин «метрическая геометрия» имел более узкий смысл. В 40-60-е годы были созданы основы метрической геометрии в фундаментальных работах Г. Буземана, А. Д. Александрова, В. А. Ефремовича, Л. М. Блюменталя, В. А. Залгаллера, Ю. Г. Решетняка, Ю. Д. Бураго и их учеников. С 70х годов начался современный этан развития метрической геометрии, достижения которого отражены в монографиях Г. Буземана [26]; Г. Буземана, В. В'. РЬабкс [27]; М. Л. Громова [41]; А. В. Погорелова [69]; У. ВаПтапп [9]; А. РараёороиЬв [67]; М. ВпсЕоп, А. Наей^ег [22]; С. В. Буяло, В. Шрёдер [34]; М. М. Деза, М. Лоран [44]; в первом учебнике на русском языке Ю. Д. Бураго, Д. Ю. Бураго, С. В. Иванова [28]; в обзорах Ю. Г. Решетняка [71]; В. Н. Берестовского, И. Г. Николаева [16] и некоторых других обзорах и монографиях. Кроме того, большое количество новых результатов пока не описано в обзорах, монографиях и учебниках, они содержатся лишь в научных статьях, число которых стабильно растет. В настоящее время установилось много взаимосвязей метрической геометрии с комбинаторной геометрией, геометрией близости [50], римановой геометрией «в целом» [30], теорией гиперболических групп, теорией фракталов, геометрической теорией меры [80], нелинейным функциональным анализом, субдифференциальным исчислением [51], выпуклым анализом [70, 68], теорией некорректных задач, теорией вероятностей, теорией графов [44], теорией приближений [77, 75] и другими разделами математики [45]. Эти взаимосвязи поддерживают актуальность метриче-

Следствие 2 [sll]. Пусть (Х,р) — пространство с внутренней метрикой. Тогда имеет место неравенство:
ав(Вв[М, r],BB[W,R]) для всех
M,We В(Х), R> 0, г > О,

ав : В[В(Х) х В[В{Х) -> Ж+
— метрика Хаусдорфа.
Лемма 3 [sll]. Пусть F — подмножество пространства (В[Х],а) с индуцированной метрикой. Тогда имеет место неравенство:
a(H,Q) < aF(H,Q)
для всех Н, Q с F, где
aF : B{F) х B(F) —> М+
— псевдометрика Хаусдорфа.
Доказательство леммы 3.
Пусть х 6 Н и €1 — знак принадлежности элемента в пространстве (F, а). Тогда найдется элемент ZeII такой, что х G Z. Кроме того,
xQ < inf |жУ| < inf a(Z, Y) <
' 1 _ Y&Q ' 1 - YeQ K ' -
sup inf a(Z, Y) = Pf(H, Q).
He// >"£
Следовательно,
/3(Я, Q) = sup |rcQ| < Pf{H, Q).

Неравенство
P(Q,H)