Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи

• Автор: Славина, Нина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Основные определения
1.1 Интегрируемые гамильтоновы системы на симплектических многообразиях
1.1.1 Понятие интегрируемой гамильтоновой системы
1.1.2 Теорема Лиувилля
1.1.3 Отношения эквивалентности на множестве интегрируемых гамильтоновых систем
1.2 Грубые топологические инварианты интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы
1.2.1 Фазовое пространство
1.2.2 Изоэнергетические поверхности
1.2.3 Бифуркационная диаграмма и бифуркационный комплекс.
1.2.4 Особые точки бифуркационных диаграмм
1.2.5 Понятие 3-атома и построение грубой молекулы
1.3 Инварианты Фоменко-Цишанга интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы
1.3.1 Матрицы склейки и допустимые системы координат.
1.3.2 Числовые метки
1.3.3 Формула Топалова
1.4 Интегрируемый случай Ковалевской и его обобщение на случай задачи о движении тяжелого гиростата

2 Интегрируемый случай Ковалевской-Яхьи.
2.1 Постановка задачи
2.2 Бифуркационные диаграммы и разделяющее множество на плоскости М2(д, А)
2.3 Семейства торов и их перестройки внутри восемнадцати ка-
мер. Боттовость интеграла на изоэнергетических поверхностях системы
2.3.1 Семейства торов и их перестройки на границах камер 1,
1’, 2, 2’, 6, 6’, 7 и 7’ камер
2.3.2 Теорема о боттовости
2.3.3 Переход внутрь камер 1, 2, 2’, 6, 6 7, 7’ с границ. Определение перестроек во всех камерах
3 Топология слоения Лиувилля в окрестностях вырожденных одномерных орбит и невырожденных положений равновесия.
3.1 Классификация невырожденных положений равновесия
3.2 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит
4 Выбор базисных циклов в семействах торов и вычисление недостающих меток круговых молекул вырожденных одно-
мерных орбит.
4.1 Построение допустимых систем координат
4.2 Определение взаимного расположения базисных циклов
4.3 Применение формулы Топалова и завершение доказательства
теоремы
5 Основные теоремы. Полный перечень инвариантов Фоменко-Цишанга для интегрируемого случая Ковалевской-Яхьи.
5.1 Вычисление изоэнергетических молекул

5.2 Лиувиллева эквивалентность систем Ковалевской-Яхьи, Ковалевской, Ковалевской-Яхьи при д = О, Жуковского, Горячева-Чаплыгина-Сретенского на некоторых соответствующих интервалах энергии
5.3 Теорема о стабилизации топологического типа слоения Лиувил-ля для семейства систем Ковалевской-Яхьи при больших значениях энергии Н
Литература

кацию бифуркационных диаграмм. Авторами было построено разделяющее множество на плоскости “энергия-гиростатический момент”, с помощью которого можно классифицировать бифуркационные диаграммы на изоэнерге-тических уровнях. В совместной работе И. И. Харламовой, П.Е. Рябова [33] введено понятие электронного атласа, создана компьютерная система, которая удовлетворяет данному определению.
Вычисление инвариантов Фоменко (молекул без меток) для случая Ковалевс-кой-Яхьи с произвольными д и А было начато в работах И. Н. Гашененко,
П. Е. Рябова и М. П. Харламова (см. [18, 19, 12]). Исчерпывающий ответ, дающий полное описание грубой топологии, приведен в работе [20]. Авторами доказано, что для 29 камер на плоскости (д, /г) имеется девять групп эквивалентных молекул (без меток), содержащих 22 устойчивых графа и б неустойчивых по отношению к количеству критических окружностей на критических уровнях (см. [20], стр. 57).
П. Е. Рябов в [34] нашел критические точки ранга 0 и 1, а также указал способ определения их типа. В работе Н.С. Логачевой (Славиной) [23] дано описание слоения Лиувилля в окрестностях вырожденных одномерных орбит и невырожденных положений равновесия волчка Ковалевской-Яхьи с полулокальной точки зрения, т.е. не в малой окрестности особой точки, а в окрестности особого слоя. В [23] доказывается боттовость (теорема 10 данной работы) дополнительного интеграла на изоэнергетической поверхности, и невырожденность положений равновесия (теоремы 12,13). Точки ранга ноль также были исследованы М. П. Харламовым в [35], где он ввел понятие классов эквивалентности относительно определяющих параметров на множестве равномерных вращений гиростата, указал разделяющие значения этих параметров и доказал, что таких классов 13, если рассматривать полный прообраз точки, отвечающей относительному равновесию.
П. В. Морозов в [36] исследовал слоение Лиувилля системы Ковалевской-Яхьи для случая д = 0, а именно вычислил инварианты Фоменко-Цишанга для соответствующих лиувиллевых слоений.