Исследование G-пространств и их расширений методами равномерной топологии и обратных спектров

• Автор: Козлов, Константин Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 196 с. : ил.

Оглавление

0.1 Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Равномерные структуры

1.2 Ограниченные подмножества произведений

1.3 (Кусочно) полуравномерные произведения

1.4 Топологические группы

1.5 Топологические группы преобразований

1.6 Спектральные представления пространств

2 (/-открытые действия

2.1 Элементарные свойства (/-открытых действий

2.2 Равномерные структуры, порождаемые (/-открытыми действиями
2.3 Вполне ограниченные действий
2.4 Транзитивность и "(/-открытость"действий
3 С-расширения
3.1 Общий (равномерный) критерий продолжения действий
3.2 Топология произведения й х X и существование С-расширений
3.3 Характеризация действий равномерностями на произведении
3.3.1 Ограниченные действия
3.3.2 Равномерно равностепенно непрерывные действия
3.3.3 Квазиограниченные действия
3.4 Полу решетка бикомпактных С-расширений

3.5 Расширения пространств с d-открытым действием

4 Связь спектральных представлений действующих групп и пространств
4.1 d-открытые действия инфраметризуемых групп
4.2 Факторизация фазового пространства по гомоморфизму группы
4.3 Связь семейств отображений на группе и фазовом пространстве
4.4 Замена действущей группы с сохранением d-открытости действия
5 Топология действий и однородность
5.1 Сильная локальная однородность
5.1.1 Обобщение сильной локальной однородности
5.1.2 Расширения сильно локально однородных пространств .
5.2 Счетная плотная однородность и G-бикомпактификации Q
5.2.1 Счетно плотно однородные пространства
5.2.2 G-бикомпактификации Q
5.3 Алгебраическая однородность бикомпактов

0.1 Введение
В Эрлангенской программе Феликсом Клейном в основу изучения геометрии положено учение об "автоморфизмах" — преобразованиях, сохраняющих все рассматриваемые в этой геометрии свойства фигур. Формирование данного взгляда были в первую очередь связано с исследованиями Б. Римана и Г. Гем-гольца по основаниям геометрии. Софус Ли — первый, кто всецело посвятил свое творчество систематическому изучению групп непрерывных преобразований и их инвариантов, выявлению их значения: в классификации геометрий, в механике, в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.
В топологии роль преобразований отводится гомеоморфизмам. Если, дополнительно, группу гомеоморфизмов пространства наделить топологией, в которой ее действие становится непрерывным, то как сама топология группы преобразований, так и топология ее действия становятся мощными исследовательскими инструментами в изучении взаимных связей между свойствами пространств, их групп преобразований и их действий. Например группа гомеоморфизмов компакта допускает топологию польского пространства, согласованную со структурой группы, в которой действие непрерывно. При непрерывном транзитивном действии компактной группы фазовое пространство диадично. Теорема Е. Эффроса [64], эффективно применяемая в теоремах о неподвижных точках, в исследованиях однородности [111], демонстрирует, что условие открытости транзитивного действия польской группы на метризуемом пространстве эквивалентно тому, что последнее является польским пространством. Приведенные примеры такого рода связей дают основания считать, что рассмотрение пространства вместе с дополнительной алгебраической структурой, согласованной с его топологией, налагает в ряде случаев весьма сильные ограничения на свойства самого пространства. Так еще в конце 50-х годов XX века Л.Н. Ивановский [12] и В. И. Кузьми-нов [20], отвечая на вопрос П. С. Александрова, установили, что пространство

/(У) С /(V') С ш!;у(с1у(/(У'))) = [хЛу(с1у(/ (У))) ■ По лемме 1.0.1 (где X — /(Л), У = с1у(/(Х))) имеем /(А) П ш1у(с1у(/(У))) = тЪ1{А]{с1{А){/{У))). Тем самым предложение доказано. П
Если на множестве даны две топологии т2 С т1; то будем говорить, что топология ті сильнее тг (ті > т2). Топологическое пространство X с топологией т при необходимости будем обозначать (X, т).
Положим I — [0,1], Б - окружность, М, и 1 - натуральные, рациональные и вещественные числа соответственно. Обозначим через С(Х, I) — семейство непрерывных отображений (функций) пространства X в I, С(Х) — семейство непрерывных отображений (функций) пространства X в Ж и С*(Х) — семейство непрерывных ограниченных отображений (функций) пространства X в М. Для функции / Є С(У) через обсд/ обозначается колебание функции / на множестве А С X. Отображение / : X -» У называется г-замкнутым, если образ /(У) любого функционально замкнутого подмножества Е1 в X замкнут в У.
Компакт — метризуемый бикомпакт. Через /ЗА обозначается Стоун-чехов-ская бикомпактификация пространства X, через аХ — одноточечная Александровская бикомпактификация локально бикомпактного пространства X. Метрика на пространстве согласована с топологией. Пространство называется польским, если оно сепарабельно и на нем существует полная метрика.
Всю необходимую информацию о решетках можно найти, например, в [6].
Пусть ш = {иа : а Є А} и и>2 — {Уд : 0 € В} — покрытия пространства X. Обозначение сщ >- ш2 означает, что покрытие цц вписано в ш2. Звезду точки х (подмножества А) относительно покрытия ш обозначим Эб(х, си) (БДА.со)). Покрытие ш (сильно) звездно вписано в покрытие ш2, если покрытие {ЗДх.оц) : х Є X} ({ЭДУ,сщ) : У Є <щ}), вписано в ш2. Положим ш / и>2 = {иа П 1ф : а Є А, (З Є В}, од Л М = {иа П М : а Є А}, где М С X, сіп = {с1На : а Є А}, и Ш = |Д{[/а : а Є Л}. Для сюръективного отображения / : А —> У, покрытий и = {На : а Є А} пространства А' и