Инъективные отображения и метрические свойства изгибаемых многогранников

• Автор: Александров, Виктор Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 160 с. : ил.

Глава 1. К теореме Ефимова о дифференциальных признаках гомеоморфизма

§1. Формулировка результатов

§2. Доказательство теоремы 1

§3. Доказательство теоремы 1

Глава 2. Вложение локально-евклидовых и кон^юрмно-евклидовых метрик

§1. Определения и предварительные замечания

§2. Вложения локально-евклидовых метрик

§3. Вложения кон<}юрмпо-евклидовых метрик

Глава 3. Пример одномерного жесткого множества на плоскости

§1. Основной результат

§2. Вспомогательные утверждения

Глава 4. Замечания к теореме Гейла — Никайдо — Инада об инъективности
отображений
§1. Введение
§2. Доказательство теоремы 4
§3. Заключительные замечания
Глава 5. Замечания к гипотезе Сабитова о стационарности объема при
бесконечно малом изгибании поверхности
§1. Введите
§2. 0 связи вариации объема и потока
§3. Гипотеза Сабитова для многогранников
§4. Гипотеза Сабитова для поверхностей вращения
Глава 6. Пример изгибаемого многогранника, не использующий октаэдров
Брикара
§1. Введите
§2. Построите рамы
§3. Построение колена
§4. Построение коленчатого вала
§5. Основной результат
Глава 7. Пример изгибаемого многогранника с непостоянным объемом в
сферическом пространстве
§1. Введение
§2. Предварительные соглашешш
§3. Вспомогательный многогранник (,}
§4. Построите многогранника Л
§5. Об объеме многогранника Л
§6. О средней кривизне многогранника Л
§7. Основной результат
§8. Обобщения и замечахшя
Глава 8. Теорема о неявной функции для полиномиальных систем уравнений с вырожденным якобианом и ее приложения к изучению изгибаемых
многогранников
§1. Введение
§2. Достаточные условия существования неявной функции
§3. Небходимые условия существования неявной функции
§4. Применения к изучению изгибаемых многогранников и каркасов
Глава 9. Изгибаемые многогранники в пространстве Минковского128
§1. Введение
§2. Существование
§3. Объем
§4. Ориентированный угол
§5. Средняя кривизна
Список литературы
Многие результаты «геометрии в целом» естественным образом могут быть переформулированы в терминах шгьективности или сюръективности некоторых специальных отображений метрических пространств или даже областей в Мп. Именно такая трактовка геометрических задач позволила Л.Д.Александрову в его знаменитой ишге «Выпуклые многогранники» [2] доказать теоремы существования и единственности для выпуклого много-гранника в К3 с дашюй разверткой, а также теоремы Линделефа и Мин-ковского. По сути тем же методом Е.М.Андреев доказал теорему о сутце-ствоватпг многогранника с заданными двугратп>ши углами в трехмерном пространстве Лобачевского [4]. Недавно Ж.-М.Шленкср вновь успешно применил этот метод для доказательства теоремы о существовании выпуклого многогралпшка с заданной разверткой в трехмерном пространстве Минковского [115].
Ядро диссертации составляют решения некоторых задач «геометрии в целом», и прежде всего — теории изгибаемых многограшшков, в решении которых сущсствешгую роль играют теоремы о локальной или глобальной обратной или неявной функции. Впрочем, в диссертацию вошли как некоторые близкие по духу задачи «геометрии в целом», решаемые иными методами, так и некоторые специальные проблемы, связанные с инъектив-ностыо отображышй, не нашедшие пока применешш в геометрии.
Диссертация состоит из введения и девяти глав, в каждой из которых обсуждается более или менее замкнутый круг вопросов. Кратко опишем основные результаты, полученные в каждой главе.
В первой главе выводится новая ({юрмулировка дифференциального условия Н.В.Ефимова, гарантирующего гомеоморфность отображения / : Е2 —> Н2. На этой основе с помощью теоремы Адамара-Леви-Джона о глобальной обратной функции даются дифференциальные условия, при выпол-нешш которых отображение / не только инъективно, но и сюръективно. Изложение следует работам соискателя [А2] и [А8].
Если говорить более точно, то в работе [21] Н.В.Ефимов доказал следующую замечательную теорему.
(г') точки то, уо, ?о (соответственно Xq, Уф Zq) лежат внутри треугольника I (соответственно L) на одной рациональной прямой;
(п') обе координаты точек жо, у о, г0> Х0, Уо, Z0 рациональны;
(in') точки F {уо) и F(Y0) лежат вне областей, ограниченных кривыми F(l) и F(L).

Ломаную, состоятцую из прямолинейных отрезков, соединяющих точки Уо и жо, ж0 и Хо, Хо и Уо, обозначим через а; прямолтшейный отрезок, соединяющий точки уо и Уо, — через Р; ломаную, состоящую го прямо-липейных отрезков, соединяюпщх точки уо и го, го и Zo, Zo и Уо, — через 7. В силу свойств (г') и (гг') а и /3 и 7 С Ли каждая из кривых а, р, 7 пересекает каждый го треугольников I и Ь ровно в одной точке. Но сужешіе отображения Л на множество А инъективно, а поскольку с*и Рі)"/и1и Ь С Аи мы могли с самого начала считать, что кривые а, Р, 7 не пересекаются в своих внутренних точках, то и кривые Р(а), Р(р), Р(у) не пересекаются в своих внутрештх точках и каждая из них пересекает каждую из кривых Р(1), Р(Ь) ровно в одной точке. С учетом (пі') ясно, что если кривые Р(а) и Л(7) с такими свойствами уже зафиксированы, то нарисовать Р(Р) уже невозможно (одна из таких конфигураций