Вложения компактов, стабильные гомотопические группы сфер и теория особенностей

• Автор: Ахметьев, Петр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 с. : ил.

В философской работе А.Пуанкаре ’’Ценность науки” [Р,стр. 188] находим следующее. ’’Для того чтобы получить математическую непрерывность п- измерений достаточно взять п подобных шкал, ступени которых будут соответствовать различным значениям п независимых величин, называемых координатами. Таким образом, получится изображение физической непрерывности п измерений...” Далее в этой работе находим рассуждения, объясняющие понятие размерности наблюдаемого пространства через мускульные ощущения и проекцию на сетчатку глаза.
Результаты, полученные в диссертации, относятся к различным разделам топологии. Тем не менее, все они объединены общей идеей: при изучении фигуры К С Rn+1 (п + 1)-измерения, например, п 1 = 4, мы сможем упростить задачу и перейти к изучению фигуры п измерений посредством анализа особенностей ортогонального проектирования К С Rn+1 -> Rn. В рамках этой идеи будут получены новые приложения теории гомотопических групп сфер и теории особенностей в геометрической и дифференциальной топологии. Работа разбита на две части, каждая из которых снабжена введением, материал в каждой части излагается независимо.
В части 1 изучаются конечномерные компакты, имеющие ’’сложное” локальное строение, посредством более тонкого, по сравнению с размерностью компакта топологического инварианта, а именно, минимальной размерности евклидового пространства, в которое данный компакт допускает вложение. В частности, получено положительное решение проблемы Р.Давермана о вложении сферо-подобного ?г-мерного компакта, п ф 1,2,3,7 в евклидово 2д-пространство (и частичные результаты в направлении ее обобщения). Новое в решении связано с приложением теории стабильных гомотопических групп сфер в рамках известного спектрального критерия вложимости.
В части 2 изучается пространство псевдоизотопий гладкого замкнутого (односвязного) многообразия высокой размерности. Определяется новая разновидность пространства функций с умеренными особенностями, которое доставляет важную информацию об основном пространстве псевдоизотопий. При изучении гомотопических свойств построенного пространства используется алгебраическая К-теория, классификационные теоремы теории особенностей и классификация погруженний многообразий малых размерностей с точностью до кобордизма. Последний

раздел посвящен приложениям в топологии гладких многообразий размерностей 3 и 4.
Работа разбита на 9 разделов, причем главные результаты работы, Теоремы 1-3, имеют независимую нумерацию. Предложения, следствия и леммы нумеруются согласованно с разделами.
Особо хочу отметить, что написанию работы помогли обсуждения с Е.В.Щепиным и В.А.Васильевым. Большой труд по ведению домашнего хозяйства на период написания рукописи взяла на себя моя жена Майя.
Содержание Часть 1.
Метод ортогонального проектирования в геометрической топологии.
Введение
1. Предварительные сведения.
2. Дискретная реализация отображения «-мерной сферы Яп Бп ъ евклидовом пространстве К.2”.
3. Дискретная реализация отображения «-мерной сферы Яп Яп в евклидовом пространстве 112п-<г.
4. Вложения 5п-подобных компактов в евклидовы пространства. Часть 2.
Метод ортогонального проектирования в дифференциальной топологии.
Введение
5. Формулы особенностей /-структуры погруженной 2-поверхности в

6. Особенности /-структуры погруженного 3-многообразия в Я4.
7. Поверхность критических значений двупараметрического семейства функций.
8. Доказательство основной Теоремы.
9. Аппроксимация вложениями поверхностей в пространстве И4. Теорема Рохлина о сигнатуре и аналоги инварианта странности для диаграммы узла.

Часть 1. Метод ортогонального проектирования в геометрической топологии.
Введение
Одним из основных понятий, характеризующих топологическое пространство, является понятие размерности. Это понятие было расссмотрено в работах А.Пуанкаре и впервые строго определяется в работах П.С.Урысона. Различные подходы при определении понятия размерности связаны с вычислением кратности покрытия, задачей продолжения отображений, понятием гомологии циклов с различными областями коэффициентов. Один из наиболее простых и геометрических подходов предложен в работе П.С.Александрова [Ал] и связан с понятием е-сдвига компакта на конечномерный полиэдр. Скажем, что метрический компакт X имеет размерность, не превышающую гс, если Уе > О существует -отображение / : X —> Рп компакта X на п-мерный полиэдр Рт т.е. такое отображение, для которого diam(f~1(p)) < 6 Р- Ключевое свойство компактов
размерности < п выявляет следующая теорема, независимо доказанная Л.С.Понтрягиным [П1] и Нобелингом [N0].
Теорема вложимости
Пусть-А-- компакт размерности < п. В пространстве С (А; II."1) непрерывных отображений этого компакта в К"1 подпространство всех вложений образует открытое и всюду плотное подмножество, при условии т > 2п + 1.
В самое последнее время рядом авторов [Б-11-8с,Кг,8р] независимо были получены сильные обобщения теоремы Понтрягина-Нобелинга. Укажем лишь на одно такое обобщение. Известно, что для компактов общего вида логарифмический закон сложения размерности имеет следующий вид <Ит(Х х X) < 2<Ит.{Х). Если для ?г-мерного компакта выполнено строгое неравенство сИт(Х X X) < 2п, то для такого компакта пространство Е(Х, И2") вложений является всюду плотным подмножеством в пространстве С(Х:И2п) всех непрерывных отображений. В настоящей

фл-Ач) = 5 X М$. Кроме того, каждое пространство Е3- снабжено Ту эквивариантной стратификацией, в соответствии со стратификацией слоев расслоения то£. Обозначим через Е(&) С Е.,- пространство соответствующего страта коразмерности сИт(Му) — 1 — к так, что выполнено равенство сНт(;1:У-(5г х Щ) П Е_Д&)) = к + I — 1. Условие того, что расслоение (21 — в, + i + 1)/г|м; допускает <1 линейно независимых сечений можно переформулировать следующим образом. Образ отображения : 5 х М{ —> Е* не пересекается со стратом Е{(0) С Е*.
Доказательство Леммы 3.1 проведем методом двойной индукции. Достаточно построить Ту Т2-эквивариантное отображение фо-гЗ0 х Мл~1, образ которого не пересекается со стратом Е_1(). Здесь и далее под Ту Тз-зквивариантным отображением понимается отображение, коммутирующее с действиями инволюций (Ту Т2), [ТиТ2) в образе и прообразе. Шаг внешней индукции задается числом % + к. Начнем с доказательства при г + к = 1. В этом случае внутренняя индукция происходит за 1 шаг. Рассмотрим Ту Ту эквивариантное отображение фо,н-1 5° х Мл-1 —» Е. Достаточно предъявить гомотопное отображение фо,л-1, образ которого не пересекает страт Е_х(1). Введем следующие обозначения Е- = Е+ из>_1 Е_; 5! х М$ = Ог+ х MjVSi-l хщ Ог_ х Му, 5* х М$ — 5* х М+ из>хм-- х М3,-, в соответствии с действиями инволюций Ту Т2, переводящими компоненты, помеченные ” +” в компоненты, помеченные Рассмотрим прообраз (01_1)-1(Е£г_1(2)) С 51 хМл-у представляющий собой замкнутую кривую, (здесь и далее кривая может являтся несвязной) обозначаемую через Ь. Воспользуемся тем, что образ кривой не пересекает страты 5_1(1); Е_2. Обозначим подмножество (_1(Е_1)+(2)) П 51 х М3-,+ ) через £+,+ . Это замкнутая кривая. Аналогично определим компоненты 1>4-,+ , Т-1+, Ь--, связанные между
собой действиями инволюций Т и Т2. Далее определим разбиение компоненты Ь+>+ на две связанные компоненты, вообще говоря, с краем. Ь+1+ = (Ь+1+ П (0 х М,-)) и (£+,+ О (£>1 X Му)) = А+ и А_. Заметим, что дА+ С (фо-х)-1 (Ел-1(1)) Проведем Т{; Ту эквивариантную перестройку, реализующую гомотопию фоьл-1 <Аод-1> ПРИ которой четверки пар точек множества (<о>£г-1)-1(2<*_1(1)) сокращаются вдоль дуг А+, Г1(А+), Т2(Л+), о Г2(Л+). Отображение фо,в.- с требуемыми свойствами построено Лемма 3.1 и Предложение 2 при г + к = 1 доказано.
Для полного доказательства нам потребуется следующая лемма.