Расслоения, определяемые ассоциативными алгебрами

• Автор: Белова, Наталия Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 128 с.

Оглавление
0.1 Введение
0.1.1 Общая характеристика работы
0.1.2 Краткое содержание диссертации
0.1.3 Основные результаты, выносимые на защиту
0.2 Основные понятия и обозначения
0.2.1 Биаксиальные пространства
0.2.2 Классификация ассоциативных унитальных
алгебр размерностей 3 и
0.2.3 Проективные расслоения и проективные связности
0.2.4 ; .т .
1 Расслоения алгебр размерностей 3 и 4
1.1 Расслоения неприводимых алгебр размерности 3 . .
1.2 Расслоения приводимых алгебр размерности 3 . . .
1.3 Расслоения неприводимых алгебр размерности 4 . .
1.4 Расслоения приводимых алгебр размерности 4 . . .
2 Расслоения биаксиальных пространств, порожденные алгебрами кватернионов и антикватернионов
2.1 Расслоение биаксиального пространства эллиптического типа, порожденное алгеброй кватернионов .
2.1.1 Векторное расслоение алгебры кватернионов
2.1.2 Проективное расслоение биаксиального пространства эллиптического типа
2.1.3 Аффиноры, порожденные умножением на элементы базиса

2.2 Расслоение биаксиального пространства гиперболического типа, порожденное алгеброй антикватернионов
2.2.1 Векторное расслоение алгебры антикватернионов
2.2.2 Проективное расслоение биаксиального пространства гиперболического типа
2.2.3 Аффиноры, порожденные умножением на элементы базиса
2.3 Расслоение биаксиального пространства параболического типа, порожденное алгеброй антикватернионов
2.3.1 Векторное расслоение алгебры антикватернионов
2.3.2 Проективное расслоение биаксиального пространства параболического типа
2.3.3 Аффиноры, порожденные умножением на элементы базиса
Список литературы

0.1 Введение
0.1.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы. Геометрия пространств над алгебрами является одной из традиционных тем казанской геометрической школы. Еще в 1895 году появилось ’’Винтовое счисление” [19] А. П. Котельникова, в котором к геометрии групп движений евклидова пространства Е3 и к геометрии многообразия прямых этого пространства применялись геометрия трехмерной и двумерной сфер в дуальных евклидовых пространствах.
Идеи А.П. Котельникова развивал Д.Н. Зейлигер [15], систематически изучавший линейчатую дифференциальную геометрию евклидова пространства с помощью метода перенесения. П.А. Широков в 1925 году впервые ввел важный.класс А-пространств, впоследствии получивший название келеровых'[50], изучил геометрию симметрических пространств такого типа [51]. Он же рассматривал вопрос о применении винтового исчисления к дифференциальной геометрии, задавая с помощью дуальных векторов различные связанные с поверхностью прямые [53].
В 1941 году румынским геометром О. Майером [60] было начато изучение биаксиальной геометрии гиперболического типа. В последующие годы внимание геометров неоднократно привлекали вопросы линейчатой геометрии такого пространства.
В послевоенные годы исследования по геометрии пространств над алгебрами в Казанском университете продолжены А. П. Нор-деном. А.П. Норден развивал теорию пространств над алгебрами во многих направлениях: он изучал геометрию биаффинных пространств (вещественных моделей комплексных аффинных пространств); геометрию биаксиального пространства (его можно истолковать как вещественную модель одномерного комплексного проективного пространства); исследовал специальные тензоры биаффинного пространства, на основе чего построил теорию битензоров пространства Лоренца, указал разнообразные примене-

= ах° + ах1е + (ах2е2 4- Ьх°)е2 + (ах3 + Ьх1 + сх°)е3. Следовательно, смежный класс определяется парой вещественных чисел х° и х1 с точностью до ненулевого вещественного множителя, причем х° ф 0. Поэтому фактормножество 21 /ще2, ез) диффеоморфно прямой К, а каноническая проекция
тг : Й —Ж может быть записана в виде
Так как
7г(ж° + Ж:е1 + х2е2 + Х3е3) =
■ = 7г(х)+7Г (у),
значит фактормножество является аддитивной группой.
Прообраз точки хе! при отображении 7Г есть смежный класс. Поэтому расслоение (21, 7Г, К) имеет типовой слой, гомеоморфный 3-плоскости без 2-плоскости.
Рассмотрим отображение тривиализации
<р : 21 —Ж хй(е2, е3), <р(хъа) = х° + ж2е2 +
Тогда его обратное имеет вид
а + Ъе2 + се3) = (а + Ье2 + се3)( 1 +
Следовательно, справедлива
Теорема 10 Расслоение (21, 7г, К), определяемое формулой (1.11), является главным тривиальным расслоением над аддитивной группой М с типовым слоем, диффеоморфным Й(е2, е3). Следовательно, 51 диффеоморфно произведению К хЙ(е2, е3).
II. Рассмотрим алгебру 21 с таблицей умножения
ео в1 е2 ез
во ео в1 е2 ез
ег 61 ео е2 ез
е2 е2 е2 0
ез ез ез 0