Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщений

• Автор: Умнова, Светлана Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Многообразия Кенмоцу

§ 1. Почти контактные метрические многообразия

§2. Структурные уравнения многообразий Кенмоцу

§3. Выражение классических тензоров в А-репере

§4. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной

кривизны

Глава 2. О конформных инвариантах многообразий Кенмоцу

§1. Конформно-инвариантные свойства многообразий Кенмоцу

§2. Геометрический смысл обращения в нуль отдельных

элементов спектра тензора Вейля
Глава 3. Обобщенные многообразия Кенмоцу (СК-миоюобразия)
§1. Структурные уравнения ОК-многообразий
§2. Выражение классических тензоров в А-репере
§3. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной
кривизны ОК-многообразий
Глава 4. БвК-многообразия I рода
§ 1. Полная группа структурных уравнений 80К-многообразий
I рода
§2. Выражение классических тензоров в А-репере
§3. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной
кривизны БСК-многообразий I рода
Глава 5. БвК-многообразия II рода
§1. Свойства кривизны БвК-многообразий II рода
§2. Локальное строение БОК-многообразий II рода
Литература

Введение
Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации Калуцы-Клейна. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей риманова многообразия.
Уже более сорока лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя [20], Дж. Грея [24], Сасаки [33]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой (e}xU(n). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [33], что такая G-структура порождает тройку {Ф,£,,т|}, где Ф - тензор типа (1,1), называемый структурным оператором, Е, -вектор, г] - ковектор, называемые структурным вектором и ковектором соот-

§4. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны
Определение 1.4.1. [25] Почти контактное метрическое многообразие (М, g) называется многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с, если УХеП => <К(Х,ФХ)Х,ФХ>=с||Х||4, где сеС°(М).
На пространстве присоединенной О-структуры это равенство записывается в виде:
Кук1(ФХ)‘(ХУХк(ФХ)1 =4с(ХаХа)2. (1.4.1)
Введем следующее обозначение: 5*=6“8*+6д8^. Тогда 6*Х°Х‘1ХаХь=
-8$ ХсХёХаХь+ 8$ Хс1ХсХаХь=(ХаХа)2+(ХаХа)2=2(ХаХа)2=~ |[Х||4. Поэтому
соотношение (1.4.1) запишем в виде: Куи(ФХ)1(ХУХк(ФХ)1=2с8*ХсХс)ХаХь.
Распишем подробно это равенство на пространстве присоединенной в-структуры с учетом того, что ХеП, т.е. Х°=0.
Каьс<з(ФХ)аХьХс(ФХ)4+ ЯаЬса (ФХ)аХьХс(ФХ)а + (ФХ)аХьХ6 (ФХ)Й+
+11аЬ.а(ФХ)аХъХг (ФХ)а + ЯаЬсс1(ФХ)аХ6Хс(ФХ)'-’+ К^(ФХ);,Х6Хс(ФХ)а +
+ К6.а(ФХ)аХ6 Х5(ФХ)л+КаШ(ФХ)аХа Xе (ФХ)а+К.Ьс(1 (ФХ)ЙХЬХСХ(1+
+ К.Ьса (ФХ)аХьХс(ФХ)4 + ХаЬМ (ФХ)АХЬХС(ФХ)“+Р.ь,а (ФХ)аХьХ£ (фх)%
+ Н.Ьс(1 (ФХ)1 Х6Хс(ФХ)а+К.6са (ФХ)4 Х°Xе,(м(ФХ)4 X6 Xе (ФХ)“+ +ЯйШ (ФХ)4 X6 X6 (ФХ)а =2с8с;ьХсХаХаХь.
Преобразуем это тождество с учетом равенств (ФХ)а= Ха, (ФХ)й=-^ЛХ& и свойств симметрии тензора римановой кривизны, получим: