Геометрия многообразий с регулярным действием торов

• Автор: Изместьев, Иван Вениаминович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с.

Содержание
Введение
1 Регулярные (^-многообразия и структуры на пространствах орбит
1.1 Определения и примеры
1.1.1 Предварительные определения и замечания
1.1.2 Основное определение и примеры
1.2 Орбитная структура регулярных (7ш-многооб-
разий
1.2.1 Стратификация пространства орбит
1.2.2 Многообразия с гранями
1.2.3 Характеристическая ф}чшция
1.3 Классификация регулярных (^-многообразий
1.3.1 Основная конструкция
1.3.2 Формулировка классификационной теоремы
1.3.3 Доказательство классификационной теоремы
1.4 Гладкие регулярные (?ш-многообразия
1.4.1 Пространство орбит как многообразие
с углами
1.4.2 Перенесение основной конструкции на
гладкий случай
1.4.3 Классификация гладких регулярных Ст-
многообразий
1.4.4 Пространство

2 Действия торов и конфигурационные пространства шарнирных механизмов
2.1 Определения и обозначения
2.2 Реализация замкнутого многообразия конфигурационным пространством
2.3 Действие группы £т на конфигурационном
пространстве
2.4 Эквивариантная реализация регулярного Ст-
многообразия, определяемого многообразием
с гранями
3 Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней простого многогранника
3.1 Введение и основные определения
3.2 Эквивариантное вложение
3.3 Эквивариантные перестройки
Рисунки
Литература

Введение
Теория действий групп на топологических пространствах имеет большой круг приложений. В отношениях этого раздела топологии с другими разделами замечательно то, что они постоянно взаимно обогащают друг друга. Итоги развития теории действий компактных групп за 40-е - 60-е годы, т. е. в пору общего расцвета алгебраической и дифференциальной топологии, представлены в монографиях [1] и

В конце 60-х - начале 70-х годов при помощи аппарата теории формальных групп и теории кобордизмов удалось полностью решить важные задачи классификации действий циклических групп на гладких многообразиях, см. обзор [3]. Окончательные ответы в этом случае возможны благодаря тому, что и пространство, и группа обладают достаточно хорошими свойствами. Также и в последующие годы часто возникала ситуация, когда задача, даже не связанная по формулировке с действиями групп, приводила к рассмотрению пространства с действием, удовлетворяющим каким-либо дополнительным условиям (”хорошая группа”, ’’хорошее пространство”, ’’хорошее локальное устройство действия”). Отметим здесь цикл работ [5], [6], [7], [8], представляющий важность для предмета нашего исследования.
В настоящей работе вводятся и изучаются регулярные ^^-многообразия. Так мы называем многообразия с действием группы Т или (В1), имеющим в определенном смысле стандартное локальное устройство. Основными направлениями исследования являются: классификация регулярных (7т-многообразий в терминах структур на их простран-

Определение 1.9 Воротник с:^х К+ С С (2 называется правильным, если множество Л = с(.Р х Д ) замкнуто в (2. Здесь Ак = {(х,.. .хь) € 11+1 Ег#; <1} — симплекс размерности к. В этом случае П называется замкнутой воротниковой окрестностью грани /Л
Приведем пример воротника, не являющегося правильным. В многообразии (2 = (0, +оо) х [0, +оо) с единственной гранью ^ = (0, +оо) X {0} положим с((.т, 0), £) = (ж+£, £). Видно, что с{Е х [0,1]) незамкнуто в (}.
Определение 1.10 Пусть — множество всех гра-
ней многообразия с гранями <2. Тогда набор воротников {са}, Са '■ Ра х К'Р ~^ называется тонкой системой
воротников в том случае, если Мсгуе{Са} = Кегуе{,Ра}.
Лемма 1.4 Для любого многообразия с гранями (2 существует тонкая система правильных воротников всех его граней.
Доказательство На первом этапе мы докажем существование воротника (не обязательно правильного) для любой грани многообразия <2. Будем вести индукцию по коразмерности грани. В случае гиперграни существование воротника обеспечивается теоремой 1.4 главы 5 книги [1]. В ней Бредон распространил стандартное понятие воротника1 на случай структуризованных пространств. А именно, струк-туризованное пространство X — это топологическое пространство вместе с заданным на нем отображением в некоторое фиксированное множество (в частности, структуризо-
ХВ русском переводе книги Бредона используется термин ’’кромка”.