Расширенная сложность трехмерных многообразий

• Автор: Шатных, Олеся Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 87 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Определение расширенной сложности трехмерных многообразий

1.1 Спайны и сложность трехмерных

многообразий

1.2 Корни и свободные поверхности в

трехмерных многообразиях

1.3 Нормальные поверхности в разбиениях на ручки

1.3.1 Разбиения на ручки

1.3.2 Нормальные поверхности в разбиениях на ручки

1.4 /-компоненты трехмерного многообразия

1.5 /-число трехмерных многообразий
1.6 Характеристика края трехмерного
многообразия
1.7 Определение расширенной сложности трехмерных многообразий
1.7.1 Определение расширенной сложности
1.7.2 Многообразия малой расширенной сложности

2 Свойства расширенной сложности
2.1 Поведение расширенной сложности трехмерных
многообразий при разрезании по существенной поверхности
2.2 Конечность процесса разрезания трехмерного многообразия по существенной поверхности
2.3 Свойство конечности

Введение
В настоящее время в топологии трехмерных многообразий существует ряд проблем, одной из которых является проблема эффективной классификации трехмерных многообразий. Обычно классификация геометрических объектов ведется в порядке возрастания их сложности. Поэтому имеется настоятельная необходимость в удобной и естественной характеристике многообразия, которую можно было бы взять в качестве такой сложности. Она должна представлять собой функцию, определенную на достаточно широком классе трехмерных многообразий и принимающую значения в некотором вполне упорядоченном множестве. Значение этой функции на каждом конкретном многообразии М удобно называть сложностью этого многообразия. Разумеется, было бы желательно, чтобы такая сложность обладала следующими полезными свойствами.
1. Свойство монотонности. При разрезании многообразия по существенной поверхности сложность многобразия строго уменьшается.
2. Свойство конечности. Для любого значения сложности существует только конечное число многообразий, сложность которых совпадает с данной.

ных только одному ребру. Заменим каждую вершину спайна Р окружающим ее шаром, каждое ребро - балкой, и каждую 2-клетку — содержащей ее плиткой, смотри рисунок 1.8.
В результате получится разбиение на ручки £ регулярной окрестности N(P) спайна Р в М. Если дМ 0, то окрестность ЩР) можно отождествить со всем многообразием М и рассматривать £ как его разбиение на ручки. Если многообразие М — замкнутое, то его разбиение на ручки можно получить, заклеив край получившейся окрестности трехмерным шаром,который будет являться ручкой индекса 3 в разбиении многообразия М.
1.3.2 Нормальные поверхности в разбиениях на ручки
Пусть £ — разбиение на ручки трехмерного многообразия

Определение 1.18. [4] Собственная поверхностг> Л С М называется нормальной по отношению к разбиению £, если выполнены следующие условия:
1) поверхность Л не пересекает ручек индекса 3;
2) Л пересекает каэюдую плитку В1 х I по нескольким параллельным дискам вида Л2 х {*};
3) пересечение поверхности Л с као/сдой балкой О2 х I имеет вид Ь х I, где Ь — конечная система пепересекаю-щихся простых собственных дуг в Л2. Здесь диск Л2 можно отождествить как с островом Л2 х {0}, так и с островом Л2 х {1};
4) ни одна система Ь не содержит замкнутых кривых или озерных возвратов — дуг с концами на одной и той оісе связной компоненте пересечения острова с озером;