Диаграммы Гаусса и инварианты Васильева узлов

• Автор: Алленов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с.

1 Узлы, сингулярные узлы и их кодировки

1.1 Узлы, сингулярные узлы и их плоские диаграммы

1.2 Изотопическая эквивалентность узлов

1.3 Движения Рейдемейстера

1.4 Диаграммы Гаусса узлов

1.5 Движения Рейдемейстера на диаграммах Гаусса

1.6 Сингулярные узлы и хордовые диаграммы

1.7 Инварианты Васильева

1.8 Размерности пространств хордовых диаграмм и весовых систем. Теорема Концевича

1.9 Модуль Васильева

1.10 Таблицы для инвариантов малых порядков

1.11 Стрелочные полиномы
1.12 Примеры вычислений значений стрелочных
полиномов
1.13 Условия инвариантности диаграммно-стрелочных
формул
1.14 Теорема Гусарова
2 Универсальные весовые системы и интеграл Концевича неузла
2.1 Алгебра графов Фейнмана
2.2 Универсальный инвариант Васильева-Концевича
2.3 Универсальные весовые системы, отвечающие супералгебре
Ли д[(1| 1)

2.4 Интеграл Концевича неузла
2.5 Нормировочный множитель универсального инварианта Васильева-Концевича
3 Контпримеры к некоторым формулам инвариантов Васи льева четвертого порядка
3.1 Диаграммно-стрелочные формулы
3.2 Обсуждение диаграммных формул и контрпримеров
3.3 Опровержение формулы Виро-Поляка для инварианта четвертого порядка
3.4 Опровержение формул Тюриной для базисных инвариантов четвертого порядка
4 Комбинаторные формулы базисных инвариантов четвертого порядка
4.1 Обзор и обсуждение результатов
4.2 Анализ движений Рейдемейстера
4.3 Порождающие движения Рейдемейстера на диаграммах Гаусса
4.4 Поиск диаграммно-стрелочных формул инвариантов Васильева четвертого порядка
4.5 Решение системы уравнений
4.6 Однородный инвариант узлов четвертого порядка
4.7 Неоднородный инвариант узлов четвертого порядка
4.8 Порядок диаграммно-стрелочных инвариантов
4.9 О порядке инвариантов У/(К) и У^(К)
4.10 Базис инвариантов четвертого порядка
4.11 Разложение произвольного инварианта порядка не выше четырех по базису
Приложение
5.1 Таблица 1. Значения базисных инвариантов Васильева
5.2 Таблица 2. Матрица коэффициентов [
Литература

Актуальность И история вопроса. Классическая теория узлов и зацеплений, как часть топологии, изучает широкий круг задач, связанных с расположением одномерных многообразий внутри трехмерного пространства М3 или трехмерной сферы §3. Ее истоки восходят к концу восемнадцатого века. Уже у К. Гаусса в записных книжках встречаются заузленные геометрические объекты похожие на косы и узлы, он же вывел интегральную формулу для коэффициента зацепления двух замкнутых кривых в пространстве.
Основная задача теории узлов и зацеплений состоит в их классификации с точностью до изотопии в К3. Эта задача полностью не решена до сих пор. Традиционный подход к этой проблеме состоит в построении алгебраических изотопических инвариантов.
Задачами теории узлов систематически начал заниматься П. Тейт [49] под влиянием У. Томпсона (лорд Кельвин) в конце XIX века. Они предприняли попытку построения геометрической теории для решения некоторых задач из области математической физики.
Как самостоятельная ветвь топологии теория узлов сформировалась в начале 30-х годов XX века после работ Дж. Александера [25], в которых был открыт полиномиальный инвариант узлов и установлена связь теории узлов с теорией кос. В 1933 г. К. Рейдемейстер [46] определил движения, сводящие пространственную изотопию узлов к преобразованию их диаграмм на плоскости.
Полиномиальные инварианты играют важную роль в теории узлов. В последние годы построено много различных полиномиальных инвариантов, появление которых стимулировано работой В. Джонса [35] в 1984 г. В этой работе был открыт новый подход к построению полиномиальных инвариантов для узлов и зацеплений. Полином Джонса различает некоторые

Теорема 2.4.1 (Д. Бар-Натан, С. Гарифалидис, Л. Розанский, Д. Терстон).
Интеграл Копцевича неузла выражается равенством:
Z($)=expuYl Ь‘2п^2п, п>
где ехри вычисляется как формальная экспоненциальная сумма линейной комбинации графов Фейнмана и2п "колес" (wheel), которые имеют следующий вид
Ш2 = ^ » ^6 = 1 ■ • •
Ь2п - числа Бернулли, определяемые равенством
Е 2n shx/2
^ =21о*-^гП>1 '
Приведем пример выражения графа Фейнмана через диаграммы Фейнмана и хордовые диаграммы.
Пример.
_10ЛС
“Уш + з
2.5 Нормировочный множитель универсального инварианта Васильева-Концевича
Сформулируем полученные результаты.
Лемма 2.5.1. Имеет место следующее рекуррентное равенство для д[(111)-весовой системы на графах Фейнмана ш2п
И^[(1|1)(^2п) = и2]¥61(11)(Ш2п-2)-
Доказательство:
Пятичленное соотношение, примененное к вершинам со2п, дает: %К1|1)Кг) = ‘м2(Н^[(1|1)(а^2п—2) 4- Н^зГ(1|1)({|} и ^2п—4)
— Н/д1(1|1)(^2тг-з) - Н'дЦ!]!) (<2тг-з))»