Дифференциально-геометрические задачи теории сигма-функций и приложения

• Автор: Бунькова, Елена Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление

Введение. Постановка задач и основные результаты

Глава 1. Задачи теории сигма-функций

на универсальном расслоении якобианов кривых рода

1.1 Функции Вейерштрасса

1.2 Рекурсия Вейерштрасса для сигма-функции

1.3 Уравнение Шази и эллиптическая сигма-функция

1.4 Связность Гаусса-Манина

1.5 Дифференциально-геометрическая структура универсального

расслоения эллиптических кривых

Глава 2. Задачи теории сигма-функций

на универсальном расслоении якобианов кривых рода
2.1 Определения
2.2 Решение системы уравнений теплопроводности в терминах
сигма-функции
2.3 Рациональный предел
2.4 Дифференциально-геометрическая структура универсального
расслоения гиперэллиптических кривых рода
Глава 3. Формальные группы и роды Хирцебруха.
Общая эллиптическая формальная группа
3.1 Формальные группы
3.2 Роды Хирцебруха
3.3 Эллиптическая формальная группа
3.4 Дифференциальные уравнения на экспоненты эллиптических
формальных групп

Глава 4. Формальные группы и роды Хирцебруха.
Формальная группа Кричевера
4.1 Род Кричевера
4.2 Формальная группа Кричевера
4.3 Кольцо коэффициентов универсальной формальной группы
Кричевера
4.4 Эллиптические формальные группы Кричевера
Глава 5. Деформированная функция Бейкера-Ахиезера
5.1 Конструкция
5.2 Теорема сложения
5.3 Дифференциальные уравнения. Деформированное уравнение
Ламе
Приложение 1. Эллиптические решения
уравнений математической физики
6.1 Решения бегущей волны
6.2 Решения уравнения Бюргерса
Приложение 2. Вычислительные эксперименты
с рядом Гурвица для сигма-функции Вейерштрасса
Список литературы

Введение. Постановка задач и основные результаты.
Диссертационная работа посвящена геометрическим и алгебро-топологическим приложениям теории сигма-функций и теории формальных групп эллиптических кривых.
В 1974 году С. П. Новиков в [33] ввёл конечнозонные (алгеброгеометрические) периодические и квазипериодические операторы Шредингера и конечнозонные (алгебро-геометрические) решения иерархии Кортевега-де Фриза. Б. А. Дубровиным и С. П. Новиковым в [19] показано,- что пространство универсального расслоения гиперэллиптических якобианов унирационально, а проекция этого расслоения задаётся интегралами потоков иерархии Кортевега-де Фриза. Это привело к созданию широкого направления исследований, включивших классические задачи и совершенно новые задачи ряда областей математики и математической физики. Большое внимание было привлечено к теории многомерных абелевых функций благодаря тэта-функциональным формулам теории конечнозонного интегрирования (см. [20], [21], [22], [25]).
В эллиптическом случае (род 1) наряду с тэта-функциями большую роль играют сигма-функции Вейерштрасса. Начиная с 1995 года началось развитие теории многомерных сигма-функций (см. [10]), которое опиралось на классические результаты Г. Бейкера (см. [38]). Важнейшее свойство сигма-функций рода д 1, отличающее их от тэта-функций, заключается в том, что они являются целыми функциями от г — («1

Теорема 28. В координатах t, z поля fa и fa имеют вид
fa = tdu fa = t2£(z)dz.
Доказательство. fa{z) = 0, fa(t12) = 12і12,
fa{z) = -2>/3 z[z - fa(t12) - 0. □
Положим
1,1 £iz) r / 1,2 f /_ 2,2 _ 2z(z 1)
9 — ~2{z - 1) 9 ~ 9 ~
Теорема 29. Связность V согласована с G = {g1'1), если
-2 det M-F = MF, (1.28)
(JLZ
где F
/1,2(2)
fa(.Z)J
'l2(4 - 3z)
’ = 12 I —0 z
U 1 0 -72 12(2-3*),
Доказательство. Равенство (1.26) при А: = 0 выполнено ввиду соотношений (1.27), при А: = 2 оно превращается в (1.28). □
Следствие 30. Функция detG = 2/1 д(*)/2,2 (2) — fiz)2 локально постоянна.
Теорема 31. 1) В области z < 1 симметричные комегприки G на С2, согласованные со связностью Гаусса-Мапина на В, задаются абсолютно сходящимися рядами
оо оо оо
= лщ) = a,2M = £<£v, (1.29)
п=0 71=0 п
ade сД = 0, Cq 2 — свободный параметр, а сД задаются рекуррентно:
1,1 _ 18(2п — 1)сп’_1 — с*’2 12 _ 72(гг — l)cn’_i + 36cr(’„1 — cn’_i
12(3п + 2) ’ п 72 п
с2’2

3(2п-1)с2’!1 + 64>2 2(Зта + 1)