Некоторые свойства топологических произведений

• Автор: Малыхин, Дмитрий Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

Содержание
Введение
Обозначения и терминология
Глава 1. Большая и малая индуктивная размерность топологических произведений
§1. Основные идеи и вспомогательные леммы
§2. Пример произведения линейно упорядоченного континуума Х и двумерного (в смысле dim, Ind, ind) бикомпакта Xz, которое индуктивно четырехмерно
§3. Пример индуктивно двумерного регулярного пространства Z, произведение которого на отрезок индуктивно четырехмерно
Глава 2. Об уплотнениях и расширениях топологических произведений и пространств
§1. Один метод построения топологических пространств с неуплотняющимися на ’’хорошие” пространства конечными степенями
§2. Полное по Чеху линделефово пространство без точек локальной бикомпактности, не имеющее связных регулярных расширений
Глава 3. Произведения полурадиальных бикомпактов
Глава 4. Некоторые кардинальнозначные инварианты V-нормальных пространств
Библиография
Введение

К числу важнейших операций над топологическими пространствами относится операция топологического произведения. Различные свойства топологических произведений интенсивно исследовались на протяжении всей истории топологии. Многие теоремы и примеры общей топологии относятся именно к топологическим произведениям.
В главе 1 диссертации рассматриваются размерностные свойства топологических произведений. Вопрос о выполнении логарифмического неравенства в теории размерности изучался глубоко и был одним из основных в этой области. Логарифмическое неравенство состоит в том, что размерность произведения двух пространств не превосходит суммы их размерностей. Вопрос о том, для каких классов топологических пространств это неравенство выполняется, можно ставить для любого размерностного инварианта. Однако, наиболее важна эта проблема для случая трех основных размерностей: dim - размерность, определяемая с помощью покрытий, Ind - большая индуктивная размерность и ind - малая индуктивная размерность.
Перечисленные размерностные инварианты определяются следующим образом:
Определение. Размерность dim топологического пространства X меньше или равна п, если в каждое конечное открытое покрытие пространства X можно вписать конечное открытое покрытие кратности п + 1.
В этом определении и в двух следующих определениях число п может принимать любые целые значения большие или равные —1. При этом, во всех трех случаях (dim, ind, Ind), размерность пустого про-

странства полагается равной —1.
Определение. Размерность ind топологического пространства X меньше или равна числа п, если между любой точкой пространства X и не содержащим ее замкнутым подмножеством пространства X найдется перегородка, размерность ind которой не превышает п — 1.
Определение. Размерность Ind топологического пространства X меньше или равна числа п, если между любыми двумя замкнутыми дизъюнктными подмножествами пространства X найдется перегородка, размерность Ind которой не превышает п — 1.
В классе метрических сепарабельных пространств все три эти размерности совпадают и логарифмическое неравенство выполняется во всех трех случаях. В более широких классах пространств перечисленные размерности могут не совпадать или могут совпадать лишь некоторые из них. В частности, размерности Ind и dim совпадают в любом метризуемом пространстве.
В главе 1 рассматривается случай бикомпактов - одного из важнейших для общей топологии класса пространств. В этом классе для размерности dim логарифмическое неравенство dim X х У dimX + dimY выполняется всегда. Это утверждение было доказано Хеммингсеном в [27].
В дальнейшем мы будем анализировать логарифмическое неравенство только для индуктивных размерностей ind и Ind. Для них логарифмическое неравенство в классе бикомпактов имеет место, если в сомножителях выполняется конечная теорема суммы. То есть верны следующие два утверждения:
1) Теорема (Пасынков Б.А. [7]). Ind X х Y IndX -f- IndY, если для любых замкнутых множеств А, В в X или в У верно Ind A U В

если РгП (£_ РгОг, то для некоторой окрестности О г точки х в бикомпакте /2 имеем либо <Д П UГGt = 0, либо ОД С/С О*. Таким образом, для любого £ из множества ((ОД) П М2) М верно или ОгГ17 П С* = 0 или (Д £7 С О*.
Случай 1. Найдется такая возрастающая сходящаяся к точке Ъ трансфинитная последовательность 5 С ((О, Ъ) П М2) М, что для всех £ £ 5 имеем О* П О П <Д = 0. Так как [О, £>], а значит и 5 не конфинальны А в точке 6, то можно считать, что 04 = 02 для всех £ £ 5 и фиксированной окрестности О2 точки х. (При необходимости из 5 можно выбрать трансфинитную конфинальную подпоследовательность).
Следовательно, для каждого £ £ 5 найдется такое открытое в Х2 множество ИД содержащее Т2, что {£} х Прг-1(02 П II)) С {£} х Х2 Д С {Х х Х2) V. Выбирая теперь такую окрестность IV2 бикомпакта Случай 2. Найдется такая возрастающая сходящаяся к точке Ь трансфинитная последовательность 5 С ((ОД) П М2) М, что для всех £ £ 51 имеем <Д II С (Д. Так как [ОД], а значит и 5 не конфинальны А в точке Ь, то можно считать, что О/, = 02 для всех £ £ 5 и фиксированной окрестности О2 точки X.
Следовательно, для каждого £ £ 5 найдется такое открытое в Х2 множество ИД содержащее Т2, что {£} х (Wt Прг_1(02 17)) С {£} х V* С V. Выбирая теперь такую окрестность ИД бикомпакта ./2, что У2 С Г){ : £ 6 М}, получаем, что
{6} х (ИД Прг-Д02 П С/)) С {Хх хХ2)У

{6} х (ИД Прг_1(02 £7)) С V