Группы монодромии изолированных критических точек функций

• Автор: Чмутов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 c. : ил

§1. Формулировки результатов

1.1. Определения и предварительные результаты

1.2. Монодромия. Сведение к конечной группе

1.3. Монодромия. Описание конечной группы

1.4. Монодромия критических точек функций двух переменных

1.5. Исчезающие циклы

ЧАСТЬ I. МОНОДРОМИЯ. СВЕДЕНИЕ К КОНЕЧНОЙ ГРУППЕ

§2. Определения. Формулировки ключевых утверждений

§3. Следствия теоремы I

§4. Диаграммы Вайнриба. Доказательствр утверждения I

§5. Доказательство утверждения

§6. Доказательство утверждения
ЧАСТЬ II. МОНОДРОМИЯ. ОПИСАНИЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ
§7. Формулировки. Обсуждение
§8. Определение инвариантных множеств
§9. Доказательство утверждения 4 и теоремы
§10. Описание исчезающих циклов
§11. Доказательства теорем о монодромии функций
двух переменных
§12. Доказательство теоремы 2. Необходимость
§13. Доказательство теоремы 2. Достаточность
ДОПОЛНЕНИЕ. О монодромии критических точек

ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена исследованию групп монодромии изолированных критических точек голоморфных функций четного числа переменных.
Актуальность проблематики. Многие задачи квантовой механики, акустики, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, теории чисел приводят к необходимости исследовать
интегралы вида Ittb J W , где to - голоморфная форма,
S(-t)
a o(i) - некоторый цикл на многообразии уровня некоторой голоморфной функции 4 (см. [17,18,40-45]). Интеграл let) является многозначной аналитической функцией с ветвлением в критических значениях функции 4 . Ветвление этой
аналитической функции описывается группой монодромии. Задача об описании ветвления (группы монодромии) ставилась как в физических Гз.37.1, так и в математических [46] работах. Среди первых результатов о группе монодромии следует отметить работу В.И.Арнольда посвященную описанию (глобальной) группы монодромиии семейства гиперэллиптическйх кривых (см. также [5]). С появлением в начале 70-х годов локальной теории критических точек функций возрос интерес к группам монодромии критических точек функций.
С каждым ростком голоморфной функции в критической точке связана его версальная деформация - выделенная деформация из которой все другие могут быть индуцированы. Исследование ветвления интегралов в окресности критической точки достаточно провести для ее версальной деформации. Ветвление в версальной деформации называется группой монодромии критической точки. Ветвление существенно зависит от четности числа переменных функции. Для простых
критических точек функций нечетного числа переменных группы моно-дромии изоморфны группам Бейля соответствующих алгебр Ли (см. [12-15]). Группы монодромии более сложных критических точек функций нечетного числа переменных описаны В.Эбелингом [1,2].
В случае критических точек функций четного числа переменных группы монодромии долгое время оставались не известны. В 1979г.
А.Н.Варченко (см.[17]) описал группы монодромии критических точек типов Аг и (несколько более слабые результаты были
получены в том же году Н.А*Кампо в [б]). В этом же году автором диссертации было получено описание групп монодромии критических точек типов , ЕГ^ , Е-& (СМ.[173). Описанию групп монодромии критических точек функций двух переменных посвящены работы [7,8]. Изложенное в диссертации описание групп монодромии критических точек функций (произвольного) четного числа переменных обобщает эти результаты.
Таким образом, приведенные в диссертации результаты описывакш ветвление аналитических функций возникающих во многих вопросах естествознания, что и определяет актуальность диссертации.
Цел_ь диссертации. Целью диссертации является установление необходимых и достаточных условий принадлежности автоморфизма гомологий неособого локального многообразия уровня функции группе монодромии.
Методы иссл_едов_ани_я_. Для доказательства основных результатов диссертации используется теория Пикара-Лефшеца. Эта теория позволяет описать порождающие элементы группы монодромии и, тем самым, исходная геометрическая задача сводится к чисто алгебраической - описанию группы автоморфизмов целочисленной решетки заданной порождающими элементами
сунной 01 3 ДО -е& элементов* Заменим один из этих элементов на . Получим новый базис В' . Заметим, что В' состоит из исчезающих векторов. Кроме того, В - связен поскольку вектор ос пересекается с некоторыми элементами В ' « Пусть сс есть сумма В - элементов* Тогда в новом базисе В *
ос пересекается с ^ - У элементами при ^ -четном и лп
элементами при ^ - нечетном* Так как я* Во Ля-л ,
Ю Л/ь-3> И Л О ЛЯ-В »
т*е. лг пересекается по крайней мере с 2-мя элементами * и не пересекается по крайней мере с 3-мя (за исключением самого элемента ос. ).
Предположим, что ос пересекается точно с 2-мя элементами В> (скажем с #1 и ). Тогда ос + Оц Поскольку ф невнрсидена на V , то ос * ■“V =о.
Но это не возможно, т.к. ос Яс- и элементы базиса В .
Следовательно, ос пересекается, по крайней мере, с тремя элементами &г.
Теперь докажем, что связный базис В * в V , составленный из исчезающих векторов не специален*
Предположим, что в V существует базис такой, что а1'^н&га^, &Са/',а/') = В для /у
и М&» ~ ^ак как один из элементов (а именно ) из /§г пересекается по крайней мере с тремя элементами В и не пересекается по крайней мере с тремя элементами В,* , то ш находимся в условиях леммы 9. Поэтому из равенства ($)-
вытекает, что ^ос , Тай как группа /У^г сохраняет
фунвцию и #1 Р* » 10 ^ 1 ** Тогда из Р8'*