Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана

• Автор: Загрядский, Олег Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Поверхности и метрики Бертрана
1.1 Основные определения н примеры
1.1.1 Базовые определения
1.1.2 Цилиндр, конус, сфера
1.2 Обобщенное семейство уравнений
2 Поверхности Бертрана
2.1 Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения
2.2 Свойства орбит и эффективного потенциала
2.3 Геометрия поверхностей Бертрана
3 Абстрактные многообразия Бертрана и поверхности Бертрана в К3, П?3
3.1 Бертрановские поверхности и натуральные координаты
3.2 Свойства поверхностей и орбит в М3. К
4 Гамильтонов подход
4.1 Система Бертрана как гамильтонова система
4.2 Бифуркационные диаграммы
4.3 Слои Лнувилля и их перестройки

Введение
Актуальность
Диссертация посвящена исследованию геометрических и механических свойств обобщения задачи Бертрана. Задачи небесной механики, связанные с движением светил по небу и в пространстве, занимали центральное место в науке на протяжении многих веков. Самые простые модели возникли ещё в античности во времена Аристотеля и с течением времени всё более и более усложнялись. Развитие новых методов математики влекло за собой качественные скачки в исследовании задач небесной механики, позволяя лучше понимать суть происходящих процессов, приводящих к наблюдаемым явлениям. Но это понимание всегда приносило ещё больше вопросов, ставило сложные проблемы перед исследователями, для решения которых требовалось привлекать всё более новые математические инструменты. Немало сложностей сюда привносят так называемые обратные задачи механики, которые всегда были труднее прямых. Можно сказать, что в исследовании движения по небу частая их встречаемость естественна.
Одной из таких задач было восстановление закона притяжения между небесными телами по форме траекторий, которые описывают планеты при своём движении. Открытие закона всемирного тяготения в XVIII веке позволило понять почему планеты, астероиды и кометы движутся по коническим сечениям. Но могли быть и другие законы притяжения, приводящие к коническим сечениям. Вопрос нахождения всех таких законов остался открытым, на это указал сам сэр II. Ньютон в своих началах натуральной философии [22]. Таким образом зная, что все планеты движутся по эллипсам, мы не можем с уверенностью утверждать, что сила притяжения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния Р ~ А Конечно, выйдя за рамки математики, можно экспериментальным путём проверить правильность четвёртого закона Ньютона, но несмотря на это задача о восстановлении закона тяготения по фор.ме траекторий носила принципиальный фундаментальный характер и ждала своего решения.
Первые успехи были сделаны только в 1870х годах. Ж. Бертран сформулировал и решил в 1873 г. следующую задачу (известную также как теорема Бертрана): Найти cir.iv притяжения. которая действует между Солнцем п планетами, зависит только от расстояния до Солнца и заставляет двигаться планеты но замкнутым траекториям, если юлько скорость пс очень велика.

В формулировке ничего не оговаривалось о вырожденных случаях (например, когда планета падает на Солнце по прямой), более того решалась плоская задача, а не пространственная. Но если заметить, что сохраняется вектор момента импульса, то легко показать, что движение в центральном ноле сил всегда будет плоским.
Другой вариант задачи выглядел так: найти закон сил, действующий на точку и заставляющий её описывать конические сечения каковы бы не были начальные условия. Естественно, предполагается, что закон не зависит от времени, а зависит только от положения точки в пространстве.
В таком варианте формулировки (Бертран) требование к орбитам более сильные, а именно они должны быть не просто замкнутыми, а являться коническими сечениями; по зато условие, наложенное на закон силы, слабее, т.к. ищется сила, зависящая от положения тол в пространстве, а пс строго от расстояния. Сразу решить в такой формулировке не удалось: для решения второй задачи Дарбу и Альфой [7] усилили требование к закону притяжения - он должен быть как раз центральным. Со временем удалось решить задачу н без дополнительного требования центральности (Депсйру) [9].
Математики продолжали искать различные условия, по которым можно восстановить закон взаимодействия. Одно из них, а именно алгебраичность траекторий, нашёл Кёниге и его формулировка выглядела так [37]: Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы пи были начальные условия (причем существуют ограниченные неособые некруговые орбиты) найти закон этой силы.
Последний вариант сводится к первому, если заметить, что ограниченная кривая должна быть либо замкнутой, либо иметь точки сгущения. Второе условие невозможно в виду алгебраичности кривой, следовательно кривая будет замкнута, а это уже условие Бертрана.
Ответ ко всем трём вариантам задачи оказался на удивление одинаков: таким условиям удовлетворяют только два закона притяжения - закон тяготения Ныотона ід ~ -р и закон Гука ЕДг) ~ г. Важно отметить, что силы исказись потенциальные и аналитические. Соответствующие потенциалы выглядят так V) ~ ,12 ~ г2.
Замечание 0.0.1. Как утверждает первый закон Кеплера, в случае закона Ныотона планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. В случае закона Гука анатог первого закона Кеплера выглядит так: планета движется по эллипсу. в центре которого находится Солнце. Ещё одним отличием закона Гука от закона Ныотона состоит в том, что у него нет неограниченных орбит, таких как парабола или гипербола.
Дальнейшие исследования пошли по пути усложнения структуры пространства. Сперва были рассмотрены пространства постоянной гауссовой кривизны. Пространство положительной постоянной кривизны - сфера, отрицательной - плоскость Лобачевского.

для некоторых вещественных постоянных с, t. у, таких что t ф 0, у € Q>o (ем. зам. 2.1.4), существует ровно один с точностью до аддитивной и положительной, мультипликативной констант гладкий замыкающий потенциал V2(9) = ф + В, где A. Sel, А(91 + t) > О.
3. На остальных поверхностях S' гладкого замыкающего потенциала не существует.
Определение 2.1.2. (см. определение 1.1.11) Псевдорнмапово 2-мерпое многообразие вращения без экваторов, на коюром существует центральный замыкающий потенциал, назовем поверхностью Бертрана. Согласно теореме 6. эю - псевдоримановы 2-мерные многообразия, описанные в теореме б.
Замечание 2.1.4. Поверхности Бертрана S' с псевдорнмановон метрикой вращения также определяются 5 параметрами c.t.y.â.b. Эти параметры как и в римановом случае не могут принимать произвольные значения, на них наложены ограничение вида V# 6 (â.b)
а222(в) > О,
а2г(^) ф 0, 9 > 0. Таким образом интервал (â.b) должен быть подмножеством допустимого множества (см. таблицу 2.1), при этом если он совпадает с допустимым множеством (его связной компонентой, если их две), то соответствующая поверхность Бертрана называется максимальной.
Таблица 2.1: Возможные положительные значения 9.
Значение (с. 1) Допустимые значения в в римановом случае Допустимые значения в в псевдоримановом случае
с > O.f = 0 (0,эс)
с < 0. t = 0 (v^c,oc) (0. V=F)
t > 0 (во. ОС) (0.S2)
t < 0. с < 0. с2 + 4f > 0 (U. Si) ИЛИ ($2, оо) (Sj, или (/^Н.в2)
t < 0, с > 0. с2 + 4t > 0 или с2 + 4/ < 0 (0, /—t) или (/—t,oc)
Замечание 2.1.5. Потенциал V = Ав + Б является аналогом потенциала гравитационною взаимодействия Ньютона, а V = ф + В аналогом пружинного взаимодействия Г у ка.
Комментарий 2.2. Как в римановом так и в псевдоримановом случаях поверхность Бертрана задается пятеркой параметров (еЛ. у.д. Ь) 6 М2 х (0>>0 х М2 с некоторыми ограничениями. указанными в замечаниях 2.1.3. 2.1.1. Параметры с.1 сильней всего влияют