Левоинвариантные внутренние метрики на группах Ли и плоские изопериметрические задачи

• Автор: Зубарева, Ирина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 114 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Необходимые сведения из выпуклой геометрии
1.1. Общие утверждения о двойственных
выпуклых телах
1.2. О регулярности границ двойственных
выпуклых тел
1.3. Кривизны Гаусса-Кронекера границ
двойственных выпуклых тел
1.4. Плоскости Радона-Минковского
2. Квазигиперболическая плоскость
2.1. Левоинвариантные внутренние метрики и их геодезические на группе Г
2.2. Линейный элемент и геодезические квазигиперболической плоскости
2.3. Нарушение выпуклости малых шаров
в квазигиперболической плоскости

3. Сферы некоторых неголономных левоинвариантных внутренних метрик на 50(3) и 5Ь2(Д)
3.1. Общее описание рассматриваемых метрик
3.2. Сферы на расслоении единичных векторов плоскости Римана
3.3. Сферы на расслоении единичных векторов плоскости Лобачевского

Введение
В последние три десятилетия активно изучаются однородные (т.е. допускающие транзитивную группу изометрий) римановы многообразия. Их естественными обобщениями являются однородные финслеровы многообразия. Различие между ними заключается в том, что первое ведет себя в бесконечно малом как евклидово, а второе - как нормированное векторное пространство.
Аксиомы С-пространства Буземана аккумулируют свойства финслеровых пространств с ’’хорошим” поведением геодезических. Г. Буземан в книге ’’Геометрия геодезических” (см. [9]) показал, что аксиом локальной продолжаемости кратчайшей и единственности такого продолжения в локально компактном полном пространстве с внутренней метрикой достаточно для получения многих нетривиальных результатов в геометрии. В [6] доказано, что всякое однородное С-пространство Буземана является топологическим многообразием, а группа всех его движений — группой Ли.
Естественными обобщениями однородных С-пространств Буземана являются однородные многообразия с внутренней метрикой (т.е. расстояние между любыми двумя точками многообразия равно
ности dU* в двойственной для и точке и* (см. лемму 1.4), через da* — da*(di
Легко видеть, что в силу (1.12) справедлива формула

dS = da. (1-19)
cos а
На основании теоремы Гаусса (см. [26]) выполнено равенство
da* = KdS, (1.20)
где К = К (и) - кривизна Гаусса-Кронекера поверхности dU в точке и.
По лемме 1.4 и замечанию предыдущего параграфа dS*{i
dS* = (—*—Г(—W. (1.21)
rcosa/ Vcos а
В силу замечания предыдущего параграфа по теореме Гаусса получаем
da = ICdS*, (1.22)
где К* = К*(и*) - кривизна Гаусса-Кронекера поверхности 8U* в
точке и*.
Круговая подстановка формул (1.19), (1.20), (1.21), (1.22) дает искомое равенство (1.18).