К теории гомологии расслоенных пространств

• Автор: Хелая, Леван Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 126 c. : ил

§ I* Предварительные понятия
§ 2. Цепные операции
§ 3. Коцепные операции
§4. Внешнее умножение для функтора
§ 5. Внутреннее умножение для функтора 0
§ 6. Преддифференциал суммы Уитни расслоенных
пространств
§ 7. О симметрическом произведении Масси
ЛИТЕРАТУРА

Работа относится к теории гомологии расслоенных пространств. Основной целью работы было изучение суммы Уитни расслоенных пространств [^183 в терминах слагаемых расслоений. Мы интересовались как выражается т.н.преддифференциал ( в смысле [2] ) суммы Уитни расслоенных пространств через
преддифференциалы слагаемых. Для простоты ограничиваемся во всей работе случаем, когда гомологии слоя есть свободные модули.
Как показано в [ 2 J ,задача построения преддифференци-ала расслоения, которая фактически и определяет спектральную последовательность расслоения ( как и задача определения спектральной последовательности покрытия) сводится к абстрактной задаче, которая приводится ниже.
Пусть {4 — упорядоченный симплициальный комплекс и пусть над |4 задана т.н. О-мерная локальная система дифференциальных градуированных модулей ( см.определение на стр. 92 ). Через &(С) и 'Ш обозначим локальные
системы типа когомологий ( см.опр. на стр. 93 ) над тем же
|4^ , которые строятся при помощи 0-мерной локальной системы С ( см.опр.76). Для каждой О-мерной локальной системы С определяется преддифференциал Л [2] »который является элементом некоторого множества оск.Сг(О) и который однозначно определяется любым (-{^-мерным элементом из алгебры С*(к,(г(с)) , удовлетворяющим
следующему условию: для |и существует О-мерный элемент К из О (т модуля С*(К/Сг(С?) , с некоторым начальным условием ( см.стр. 98 ), такой, что и К

удовлетворяют уравнению
(#) VK = Kl,
где V —‘дифференциал в С*(К ; 1jr(C)) » через " • " обозначено действие С*( К/Сг(С)) ® С^(КjGKC))“^С*(К/Gr(Cj) ( см. (6.II) на стр. 96 ). Из условия (#) следует
скрещенность коцепи А- , Т.е. =
Наша задача, сформулированная в таких же терминах, т.е. в терминах локальной системы, имеет следующий вид.
Пусть заданы О -мерные локальные системы С и
(Е над упорядоченным симплициальным комплексом (4 • Требуется выразить преддифференциал о((С) . , соответствующий О -мерной локальной системе »через преддифференциалы о{ (С*) и о| (Cz)
Для решения этой задачи мы построили (теор.1) цепную операцию
Е ; С ( К) Coiair(C(K)) & Colar (С(Ю)
При помощи Е определяется операция
+ •• С*(К,Ш)хС*(К,МСг)) —
— С*(К, &(С’®Сг)).
Эта внешняя операция, со своей стороны индуцирует внешнюю операцию
®: 0(К,&(С())х0(К;(ИСг))
— DC K.&CCeC1)).

Определим отображение
(зл) В«Гп (м) ® ел (с) А,
которое на гомогенных элементах задается равенствами
(3.5) {
ц[(^0м • 0Ир)« (с,0 .. ■ 0C,)J«
О , при р +
(-0,+VW*V Mt(Ci)
,при р=<(, ,

где " * ” обозначает умножение в алгебре А . и где ^(р)* = 1р-(р-|) , а £ есть знак, возникающий при перестановке:
® С/© Ср 1—=?
—=5» (-0 кП | <8> б * © *• - - Ф ^ р Ср ,
Лемма 4-6. Отображение (3.4) , определенное формулой
(3.5) есть цепное отображение (спаривание) 0(х модулей.
Доказательство состоит в проверке соответствующего равенства на элементах.
Спаривание (3.4) определяет цепное отображение
5* Ь*ГП(М) Пока [СЛ (С); А )
Если — некоторый элемент ИЗ 10>^ГП (п). то его любую гомогенную , по отношению к индексу р компоненту |<р
г^|у, ®-•*0 Ир)# можно отождествить с элементом из в«гЛн). И так как в 1ЧгЛЮ определена операция коалгебры Д ,