Геометрические свойства арифметических групп в пространствах Лобачевского

• Автор: Белолипецкий, Михаил Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 66 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Арифметические группы
1. Определения
2. Критерии арифметичности
3. Классы соизмеримости и объемы арифметических
многообразий
Глава II. Арифметичность и автоморфизмы римановых
поверхностей
1. Арифметические и неарифметические римановы поверхности
2. Верхняя оценка для числа автоморфизмов неарифметической
поверхности
3. Нижняя оценка для числа автоморфизмов арифметической
поверхности
4. Экстремальные поверхности
Глава III. Критерий арифметичности обобщенных треугольных
групп
1. Двупорожденные клейновы группы и группы порожденные
тремя полуоборотами
2. Матричное представление
3. Критерий арифметичности
4. Регулярные треугольные группы
Литература

Введение
Шварц [38] доказал, что группа автоморфизмов компактной римано-вой поверхности рода д >2 конечна и, позднее, Гурвиц [25] показал, что ее порядок не превосходит 84( — !) Эта оценка точна, она достигается для бесконечного числа различных родов д, и наименьший возможный род экстремальной поверхности равен 3. Однако, в то же время известно, что имеется бесконечно много родов, для которых 84(5 — 1)-граница для числа автоморфизмов недостижима. В связи с этим, имеет смысл рассматривать максимальный среди всех римановых поверхностей рода 5 порядок группы автоморфизмов поверхности, который далее обозначается N(g). В 1968 году Р. Аккола [5] и К. Маклахлан [31] независимо доказали, что N(5) > 8(5 + 1) для любого рода д > 2. Данная оценка также является точной, она достигается для бесконечного множества родов, и, как было позднее показано П. Хевиттом, наимешее возможное значение рода экстремальной поверхности равняется 23 (см. [6], с. 93). Следовательно, для д >2 имеют место следующие неравенства:
8(5 + 1) < N(5) < 84(5 - 1).
Мы рассмотрим эти оценки с арифметической точки зрения, определяя арифметические римановы поверхности, как поверхности униформи-зируемые арифметическими фуксовыми группами. Удивительный факт относительно римановых поверхностей с большими группами автоморфизмов состоит в том, что все экстремальные поверхности для оценки Гурвица являются арифметическими, а все экстремальные поверхности для оценки Акколы-Маклахлана — неарифметические. Естественно

возникает вопрос, что можно сказать о верхней границе для числа автоморфизмов неарифметической поверхности и нижней границе максимального числа автоморфизмов арифметической поверхности заданного рода.
Неарифметический аналог оценки Гурвица был получен автором в работе [44]. Соответствующей границей является 156 (д — 1)/7; данная оценка также точна, она достигается для бесконечного множества различных родов д, и минимальный возможный род экстремальной поверхности равен 50. Арифметический аналог оценки Акколы-Маклахлана удалось найти совсем недавно в ходе моей совместной работы с Гаретом Джонсом из университета г. Саутгемптон (Англия). При этом, хочется особо поблагодарить Колина Маклахлана за оказанное внимание и важные замечания. Результат состоит в том, что для любого д > 2 максимальный порядок группы автоморфизмов арифметической римановой поверхности рода д больше либо равен 4 (д — 1), равенство достигается для бесконечного множества различных родов и минимальный возможный род экстремальной поверхности равен 24 ([46], [47]). Эти результаты подробно изложены в главе II диссертации.
В главе III мы займемся изучением обобщения понятия треугольной фуксовой группы на 3-мерное гиперболическое пространство "Н3. Треугольные фуксовы группы имеют важное значение в плоской гиперболической геометрии и теории римановых поверхностей. В частности, они являются одним из основных инструментов для получения оценок на порядок группы автоморфизмов римановой поверхности из главы II. Особого внимания также заслуживает связь треугольных групп с произвольными двупорожденными группами гиперболических изометрий, которая полностью раскрывается лишь при переходе в трехмерное пространство. Используемые в главе III методы были ранее изложены в препринте [45], они открывают некоторый новый подход к проблеме классификации арифметических обоЩенных треугольных групп и арифметических

исходное отображение до эпиморфизма на группу Сі порядка 6-89. Снова применяя теорему Силова теперь уже к группе £?і находим, что она имеет нормальную подгруппу порядка 3, так что существует эпиморфизм
Г = (71,72,73,74 | 7і = 7І = 7з = її = 7іТ27з74 = 1) на группу в2 порядка 2 89. Группа (?2 не содержит элементов порядка 3, так что 73 и 74 попадают в ядро последнего эпиморфизма и, следовательно, его образ (равный Є2) порождается одним элементом порядка 2, что противоречит |С2| -2-89.
(в) Сигнатуры (2, 2, 2,6), (4,4,6), (3,4,12), (2,12,12), (2,9,18).
Как и в случае (б), образ БКЕ-отображения из группы Г одной из данных сигнатур имеет порядок 6 89р. После факторизации Є по нормальным подгруппам порядка р и, затем, 89, мы получаем эпиморфизм Г на группу порядка 6. Так как р и 89 взаимнопросты с порядками порождающих Г, этот эпиморфизм — по прежднему БКЕ-отображение. Однако, можно непосредственно убедиться, что группы данных сигнатур не допускают БКЕ-отбражений на группы Сб или £>3, которыми исчерпываются все группы порядка 6.
(г) Сигнатура (3,6,6).
Снова, соответствующее БКЕ-отображение имеет образ порядка 6 89р, но на этот раз группа Г = Г(3,6, 6) допускает БКЕ-отбражение на С$ и аргументы из случая (в) не применимы. Вместо того, рассуждая как в случае (б) мы получаем эпиморфизм Г на группу порядка 2 89, который не может существовать, так как порождающий порядка 3 попадает в ядро.
(д) Сигнатура (2,7,14).
Этот случай подобен случаю (а) с единственным отличием в том, что теперь мы рассматриваем ЭКЕ-отображения на группы порядка 7 89р вместо 5 89р.
(е) Сигнатуры (2,5,20), (2,6,12), (3,4,6).
Если группа Г одной из данных сигнатур допускает Э К Е-отображенис с