Геометрия тензора кручения-кривизны и нормализация оснащённых подмногообразий пространства проективной связности

• Автор: Сухотин, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 158 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. Проективная дифференциальная геометрия. Дифференци-
альная геометрия обобщённых пространств
Соглашение об индексах
Глава 1. ГЕОМЕТРИИ ТЕНЗОРА КРУЧЕНИЯ-КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВА ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ
1.1. Пространство проективной связности
1.2. Поля геометрических объектов, индуцируемых парой дополнительных распределений расслоения Рп п
1.3. Оснащённые гиперраспределения Д/М и Д*_, индуцированные связ-

ности расслоения, Рп п
1.4. Индуцированные связности и инвариантные проективитеты расслоения Д, „
1.5. Некоторые кривые на базе МЦ и частные классы расслоений
1.6. Неголономная гиперповерхность Х"_, в проективном пространстве

1.7. Расслоение Рпп с нулевым кручением
1.8. Классификация расслоений Рп п с помощью нормальных подпространств
Глава 2. НОРМАЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ
2.1. Дифференциальные уравнения ш-поверхности 5„, и полей нормалей
Нордена н Каргана
2.2. Внешние нормали Картава и Нордена ///-поверхности
2.1.0 Р1 -нормали Нордена «/-поверхности расслоения Рп°п

2.2. Индуцируемая нормалью Картана связность Сю на /«-поверхности
и нормализация с такой связностью
2.3. Вырождение касательных гиперконусов /«-мерной поверхности5^ расслоения Рп п и нормализация /«-мерной поверхности 5п для некоторых значений размерностей тип
2.4. О геометрии двумерной поверхности в шестимерном пространстве проективной связности

2.7 Инвариантный проективитет Л слоя Р„(А0) и нормализация т-мерной поверхности 8т расслоения Р для некоторых значений/«
Глава 3. НОРМАЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ОСНАЩЁННОЙ ПОЛЕМ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
3.1. Аналитическое решение задачи нормализации оснащённой полем двумерных плоскостей Ь2 т-поверхности Бт пространства проективной связности Рп п при «=/«
3.2. Геометрическое решение задачи нормализации оснащённой полем двумерных плоскостей Ь2 ///-поверхности Бт
3.3. Нормализация оснащённой полем двумерных плоскостей Ь2 т-поверхности 5т пространства проективной связности Рп п, когда плоскость Ь2 пересекает касательную к «г-поскость Ьт по прямой Ь
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
ПРОЕКТИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОБОБЩЁННЫХ ПРОСТРАНСТВ
L Родословное дерево дифференциальной геометрии не менее древне, чем родословное дерево анализа бесконечно малых [36], [165], [4]. Но впервые проективные и метрические свойства фигур были разделены в 1822 году французским математиком Ж. Понселе в его сочинении “Traite des propriétés des figures”. Эта книга содержала начала проективной геометрии, основным методом решения задач в которой явился метод проективного преобразования фигур, реализуемый процедурой центрального проектирования. Ж. Понселе в своей книге сформулировал и применял принцип двойственности в проективной геометрии. Дальнейшее развитие проективной геометрии связано с именами Я. Штейнера (Steiner J., “Sistematishe Entwiklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander”, Berlin, 1832), который строил геометрию прямых и конических сечений исключительно синтетически, А. Мёбиуса (Mobius A. F., “Der barycentrische Calcul”, Leipzig, 1827), который первым начал использовать проективную систему координат и, следовательно, аналитические методы в проективной геометрии, используя проективные преобразования фигур, он выделяет их свойства, сохраняющиеся при этих преобразованиях, что является ничем иным, как началом геометрической теории инвариантов. К. Штаудт ввёл (Staudt K. G. “Geometrie der Lage”, Nurenberg, 1847) в аналитическую проективную геометрию однородные координаты и исследовал (с. 131-136) симметричный невырожденный поляритет посредством автополярного симплекса и присоединения пары соответствующих элементов. 10. Плюккер предложил (Pliicker J., “Sistem der Geometrie des Raumes", 1846) рассматривать прямую как элемент пространства, взяв за координаты этого элемента 4 коэффициента в сравнениях прямой трёхмерного пространства, и разработал начала аналитической геометрии линейных комплексов и линейной конгруэнции, он же ввёл
Подрасслоением Рк расслоения Рпп назовём расслоенное пространство проективной связности, базой которого является подмногообразие А/к многообразия Мп, а слоями служат ^-мерные проективные пространства Рч,
Зададим в пространстве проективной связности Рп п невырожденное точечное сечение і : т{и) —» А(т(и)) є Рп (т(и)), т{и) є Мп, причём репер Т0 выберем так, что А(т(и))-А0(т(и)). Этот выбор позволяет отождествить формы &' и со о, тогда уравнения (1.1.9) примут вид
Я©,* = со-! л (о* + Я Д,®'л со{, Л } = 0. (1.1.11)
Точка А0(т(и)) описывает диффеоморфное базе Мп многообразие М° -секущую поверхность расслоения Рп п. Заменим в дальнейших рассуждениях
базу Мп расслоения Рп п многообразием Мйп и иногда будем писать А0 или А0(и) вместо А0(т(и)), так что
р„(и)=РЛЛо)=Рп(М«))=РяЫ«))-
1.1.3. Компоненты Л* . тензора Р= {Р^] /} кручения-кривизны связности С удовлетворяют дифференциальным уравнениям ([102], с.53)
*лт -«• (1Ы2)

Здесь и ниже оператор V, применённый, например, к величинам АИ], как и в [107] означает следующее:
VА*ч + А)і} со[ - АКи) со1, ~ А$и со' ~ 4п ^ + (3 - 1 )А*и <(1.1.13)
Очевидные следствия из (1.1.5), (1.1.11) и (1.1.12) имеют вид

Компоненты /г,),,, /3, , и <7,1-, о<і, =Ли;т).