О геометрии характеристического вектора почти контактных метрических структур

• Автор: Терпстра, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

Оглавление
1 Введение
1 Основные понятия и определения
1 Почти контактные метрические структуры
2 Основные классы АС-структур
2 Геометрия характеристического вектора сБ-многообразия
1 Характеристический вектор как торсообразующее векторное поле
2 Характеристический вектор как конформное векторное поле
3 Торсообразующий характеристический вектор как конформное
векторное поле
4 Торсообразующий характеристический вектор как аффинное
векторное поле
3 Инвариантность ЛС-структуры относительно характеристического вектора
1 Ф-ннварпантноеть структуры относительно характеристического вектора
2 тринварпантпостъ структуры относительно характеристического вектора
3 Инвариантность ЛС-структуры относительного характеристического вектора
Литература

1 Введение
Актуальность работы. Данная работа посвящена исследованию почти контактных метрических структур. Это специальные дифференциально-геометрические структуры возникающие на печетпомерном римаиовом многообразии и порождаемые дифференциальными 1-формами максимального ранга.
Изучение контактных структур и их обобщения - почти контактных структур началось в 50-х годах прошлого века. В 1953 году С. Черн [17] показал, что многообразие М2"+1 с фиксированной контактной формой д : цЛ (Дт?)?| ф О допускает бт-структуру со структурной группой и(п) х {е}.
В 1960 году С. Саоакп в работе [32] показал, что многообразие, допускающее С-структуру со структурной группой и{п) х {е}, внутренним образом определяет тройку тензоров (ФД,ц), названную Дж. Греем [23] почти контактной структурой, которые обладают свойствами г/Д) = 1, ФД) = 0, г/ о Ф = 0, Ф2 = —г(1 + г/ б- Более того. С. Саеаки показал, что па таком многообразии М всегда существует положительно определенная метрика д = (, }. такая что (ФА. ФУ) = (А. У) — д(Х)г/(У): А. У € А(М) н
г/(А) = (АД), дополняющая почти контактную структуру (ФД,7?) до метрической почти контактной структуры. Здесь векторное поле £ называется характеристическим вектором. Ф - эндоморфизм модуля Х(М) называемый структурным эндоморфизмом, а 1-форма 7/ - контактной формой структуры.
Почти контактные н почти контактные метрические многообразия исследовались не только зарубежными авторами, такими как Д. Блэр [15], С. Танно [40]. И. Исихара [24]. по и отечественными, например [3]. [4].
ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Если у многообразия первое число Бетти равно нулю, то понятие копциркулярности и локальной копциркулярности совпадают.
□ Действительно, из определения 1-го числа Бетти следует, что в этом случае всякая замкнутая дифференциальная форма точна. □
ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Если многообразие односвязпо, то понятие копциркулярпости и локальной копциркулярпости совпадают.
□ Это замечение напрямую следует из сведений алгебраической топологии, конкретнее из Теоремы Гуревича [9]. Из этой теоремы вытекает, что если многообразие односвязпо, то есть его фундаментальная группа равна пулю, то первое число Бетти равно нулю. А по замечанию (2.1). в этом случае понятие копциркулярпости и локальной копциркулярности совпадают.П
Исследуем условия, когда характеристический вектор нормального /сбЗ-миогообразия будет торсообразующим или, более того, локальпо-конциркулярным векторным полем.
Пусть М - нормальное /с<55-мпогообразие. Мы уже упоминали в Теореме
1.2, что на всяком /с<55-миогообразпи М внутренним образом определена дифференциальная 1-форма а. такая, что «| = Лет и контакный вектор Ли
а* определенный формулой а(Х) = (а#,Х). Более того, как будет нами доказано в §1 главы 3, на /сбЗ-многообразии верно следующее тождество
VАД = -СФХ + ф*)Х - 7]{Х)а#. ' (2.1)
Здесь С(Х) = а(£)ФХ - внутренним образом определенный эндомор-
физм модуля Х(М), аннулирующий характеристический вектор £ (см. 1.19).
Этот эндоморфизм также перестановочен со структурным эндоморфизмом Ф. Действительно: так как эндоморфизм С(Х) перестановочен с Ф : ФС