Непрерывные селекции многозначных отображений

• Автор: Бродский, Николай Борисович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Содержание.
Введение
Глава 1. Однозначные графические аппроксимации.
§1.1. Аппроксимативная связность.
§1.2. Конечномерная теорема об однозначной аппроксимации.
§1.3. Бесконечномерная теорема об однозначной аппроксимации.
Глава 2. Селекции многозначных отображений.
§2.1. Основные свойства п-непрерывных снизу многозначных отображений.
§2.2. Конечномерная теорема селекции.
§2.3. Сечения двумерных расслоений.
Глава 3. Продолжение компактнозначных отображений
§3.1. Однозначное продолжение С/У”-значных отображений.
§3.2. Проективно С/Уп-значные отображения.
§3.3. Продолжение С/Кп-значных отображений.
Литература
Введение
Одна из наиболее важных и интересных задач топологии состоит в том, чтобы найти условия, при которых отображение р:Е —» В является локально тривиальным расслоением1. Очевидно, необходимым условием является постоянство (с точностью до гомеоморфизма) слоев р~х(Ь), Ъ £ В. Кроме того, мы предположим, что р является расслоением в смысле Серра. Очень интересной и трудной представляется проблема локально тривиального расслоения [ДЩ]: если р:Е —> В — расслоение Серра, все слои которого гомеоморфны некоторому n-мерному многообразию, является ли р локально тривиальным расслоением?
В случае конечномерной базы В проблема решена положительно для п < 3 Дайером и Хамстрем [HD], и для п > 5 Чепмэном и Ферри [CF]. Поэтому проблема интересна прежде всего в случае бесконечномерной базы. Для размерности слоя п > 5 проблема локально тривиального расслоения решается отрицательно согласно результатам Эдвардса и Дранишнико-ва (п > 5) а также Дыдака и Волша (п = 5). А в размерности п = 1 проблема решена положительно в работе [RSS].
Относительно оставшихся размерностей п = 2,3,4 существует гипотеза (см. [В])
Гипотеза Щепина. Расслоение Серра с метрической локально линейно связной базой локально тривиально, если все его слои гомеоморфны некоторому компактному многообразию размерности < 4-
Это очень сильная гипотеза, поскольку из нее, например, следует положительное решение СЕ-проблемы для четырехмерных многообразий [ДЩ]: является ли конечномерным образ четырехмерного многообразия при клеточноподобном отображении?
Тесно связана с проблемой локально тривиального расслоения следующая проблема групп гомеоморфизмов [West]: будет ли -многообразием группа гомеоморфизмов n-мерного компактного многообразия? Это одна из немногих основных проблем теории бесконечномерных многообразий, которая была поставлена при возникновении этой теории в конце шестидесятых годов и которая не имеет сколько нибудь заметных продвижений примерно с 1972 года. Проблема редуцирована к следующему вопросу. Будет ли абсолютным ретрактом группа Auth(n) гомеоморфизмов n-мерного диска, тождественных на границе этого диска? Р. Андерсон доказал, что Auth(l) гомеоморфна /2, а Мэйсон получил тот же результат для Auth(2). Проблема групп гомеоморфизмов остается открытой для п > 3. И доказательство гипотезы Щепина в размерностях 3 и
1 Все необходимые определения можно найти в конце этого раздела.

повлекло бы положительное решение проблемы групп гомеоморфизмов в этих размерностях.
Прежде чем перейти к обзору результатов настоящей работы, отметим роль теории непрерывных селекций в исследованиях, касающихся проблемы локально тривиального расслоения.
Каким образом задачи о непрерывной селекции возникают при попытке решения проблемы локально тривиального расслоения? Пусть р:Е -> В непрерывное отображение метрических компактов, все слои которого гомеоморфны некоторому компакту К. Рассмотрим пространство С(К,Е), наделенное вир-метрикой. Определим многозначное отображение > С (К, Е), сопоставив точке Ъ 6 В множество -Р(Ь) всех гомео-
морфизмов компакта К на слой р~г (Ъ). Тогда непрерывная однозначная селекция многозначного отображения А очевидным образом задает три-виализацию расслоения р.
Теория непрерывных селекций многозначных отображений интенсивно развивается последние десятилетия и находит различные приложения в общей топологии, геометрической топологии, теории абсолютных ретрактов и бесконечномерных многообразий, теории неподвижных точек, функциональном и выпуклом анализе, теории игр, математической экономике и других областях современной математики. Фундаментальные и основополагающие результаты этой теории получены в середине 1950-х годов Эрнстом Майклом, а совсем недавно издана первая монография целиком посвященная этой теории [118].
Существуют четыре основные селекционные теоремы, имеющие уже устоявшиеся в математическом фольклоре наименования: нульмерная, выпуклозначная, компактнозначная, конечномерная теоремы Майкла. Практически все имеющиеся к настоящему времени факты в теории непрерывных селекций многозначных отображений имеют непосредственную связь с одной из перечисленных теорем. Отметим, что нульмерная и компактнозначная селекционные теоремы чаще всего используются в общей топологии. А в геометрической топологии наиболее важна конечномерная селекционная теорема, которая использовалась для решения проблемы локально тривиального расслоения в случае конечномерной базы В (см. [ЫВ], [СИ]).
Основной результат настоящей работы позволяет сделать первый шаг для доказательства гипотезы Щепина в размерности 2. А именно, мы доказали возможность локального продолжения сечений отображения р в предположении, что база В является АЫА-пространством.
Теорема 2.3.7. Пусть р: Е —» В расслоение Серра метрических ЬС°-пространств все слои которого гомеоморфны некоторому компакт-

е каждой точке множества Д(х') П Оу по отношению ко всем сферам размерностей < п.
Доказательство. Согласно свойству п-непрерывности снизу отображения Д существуют такое 5 < е/4 и такая окрестность 0Х точки х, что для любой точки х' € 01 я пара (Д(х')ПО(у, 25), Д(х') ПО (у, е/2)) является /с-асферичной для любого к < п. Пусть Ох —- такая окрестность точки х, что для каждого х' 6 Ох пересечение Д{х') П 0(у,5) непусто. Положим Оу = 0(у,5). Тогда для любого х' £ Ох и любого у' Е Д(х') П Оу выполняются включения 0(у',5) С 0{у,25) и 0(у,е/2) С 0(у',е). Следовательно, слой Д(х') является (е, £)-связным в точке у' по отношению ко всем сферам размерностей < п. □
Лемма 2.1.3. Пусть К — компактное подмножество слоя Д(х) п-непрерывного снизу многозначного отображения Д: X —) У паракомпакта X в метрическое пространство У. Тогда для любого е > О существуют 5 > 0 и такие окрестности ОК компакта К в У и Ох точки х в X, что для любой точки х' Е Ох слой Д{х') является (е, £)-связным в каждой точке множества Д(х')ГОК по отношению ко всем сферам размерностей < п.
Доказательство. Для каждой точки у Е К выберем число 5У > 0 и окрестности Оу точки у и Оух точки х согласно лемме 2.1.2. Из покрытия {Оу}У£к компакта К выберем конечное подпокрытие {0уг}™=1 и рассмотрим соответствующие числа 5
Лемма доказана. □
Следующая лемма является обобщением леммы 2.1 из работы [Д1] о сдвиге полиэдра в компактное локально п-связное пространство (ср. лемму 11.1 из статьи [М56]).
Лемма 2.1.4. Пусть К — компактное подмножество слоя Д(х) п-непрерывного снизу многозначного отображения Д: X —> У паракомпакта X в метрическое пространство У. Тогда для любого е > О существуют 5 > 0 и окрестность Ох точки х в X такие, что для произвольной точки х' Е Ох и для всякого непрерывного отображения ф:(М,М) —> (0(К,5) О Д(х'),0(К,5)) полиэдральной пары (М,ЛГ)