Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли

• Автор: Деркач, Мария Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление
Введение

1 Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова

1.1 Анализ метода Тена

1.2 Анализ метода Браилова

1.3 Функции на двойственном пространстве к стационарной

подалгебре

1.4 Сравнение наборов, получаемых методами Тена и Браилова

1.5 Анализ метода Садэтова

1.5.1 Строение алгебры рациональных сечений

1.5.2 Строение алгебры рациональных функций Кф

1.6 Полный набор полиномов на алгебре Ф
1.6.1 Функции как функции на 5*
1.6.2 Сдвиги функций Г/
1.6.3 Общий случай
2 Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.
2.1 Полный инволютивный набор полиномов для алгебр дп/с =
во (п) +Рк (К”)А
2.2 Операторный вид формулы для проекции ргд1г,
2.3 Степени полиномов
2.4 Алгебры малых размерностей

Оглавление З
2.4.1 Алгебра 521 — во(2) +р Е
2.4.2 Алгебра 931 = ез = бо(3) +р
2.4.3 Алгебра 04і = Є4 = эо(4) +р Е
2.5 Полный инволютивный набор полиномов для алгебр I)п^ = ви(п) +а (С")*
2.6 Алгебры семейства ї)пі
2.6.1 Алгебра [)2і
2.6.2 Алгебра [)зі
2.7 Полный инволютивный набор полиномов для алгебр fnk = и(п) +Ск (Сп)к
2.8 Операторный вид проекций (2.23) и (2.37)
Литература

Введение.
Актуальность темы. Данная диссертация посвящена исследованию интегрируемости гамильтоновых систем алгебраическими и геометрическими методами. Как известно, многие классические уравнения механики (в частности, гамильтоновы системы) записываются как системы дифференциальных уравнений на евклидовом пространстве К”. Для полной интегрируемости такой системы в общем случае необходимо (и — 1) независимых первых интегралов. Однако есть класс многообразий, называемых симплектическими многообразиями, где для полной интегрируемости системы иногда достаточно п/2 независимых первых интегралов.
Один из простейших примеров симплектического многообразия — это орбита коприсоединенного действия группы Ли. Если мы сможем в К” ввести структуру алгебры Ли так, чтобы на орбите коприсоединенного действия векторное поле, задающее исследуемую систему, было гамильтоновым, то для полной интегрируемости системы достаточно найти набор интегралов, удовлетворяющих теореме Лиувилля. В таких случаях число независимых интегралов должно быть равно половине размерности орбиты.
Эта задача допускает естественное обобщение: вместо рассмотрения конкретной системы уравнений можно поставить вопрос об отыскании максимального коммутативного набора полиномов для произвольной алгебры Ли. Из таких наборов зачастую получаются интересные механические системы. А именно: взяв любую функцию из набора в качестве гамильтониана, можно получить гамильтонову систему, которая
Глава 1. Сравнение методов Тена, Браплова и Садэтова
Окончание доказательства теоремы А. Из леммы 1.9 следует, что вместо того, чтобы сравнивать пространства, натянутые на дифференциалы сдвигов функций из вторых частей наборов, можно сравнить подпространства Т>м'{/к,и) и Т>м;{дт,Ь'), натянутые на дифференциалы сдвигов инвариантов алгебры Б1V, которые получаются путем ограничения функций /к и дт на
Рассмотрим сдвиги инвариантов дт на вектор I/: дт,ь' = 9т{Ы' + ХЬ') = дт(ж(М') + Хтг(Ь'), и). Если ж(17) — регулярный элемент, то проекции дифференциалов функций дт(ж(М') + Хтг(Ь'), у) на подалгебру () дают подпространство ТОх,-к(и) (Зт) размерности I — | (сИт Б1 п+ ind Б1 у) (поскольку в силу полноты набора на 5 размерность подпространства ТХх^{ь'){дт) равна сИт V + |(сИт Б1г>+ € Бйг?), а первая часть набора дает в эту сумму вклад ровно сИт V). Значит и дифференциалы функций дт,1,' тоже образуют пространство Т>м'{,9т,и) размерности | (сйт Б1 у + тс1 Б1 г;). Следовательно сдвиги инвариантов 9т,Ь'(М') = дт{М' -Б ХЬ') дают полный набор на (Б1г>)*. Аналогично сдвиги инвариантов //сд/(М') — /ДМ' + ХЬ') дают полный набор на
Рассмотрим набор функций на (Б1г»)*, являющийся объединением этих наборов: {/г„} = {/к} и {дт}- Этот набор состоит из инвариантов алгебры Б1гп Рассмотрим сдвиги к{М' + ХЬ'). Дифференциалы функций этого набора образуют подпространство Т>М1^(НП) размерности не более, чем I — ^(с1ш1 Б1г + тс1 Б1п). Но Т>м',ь'(кп) уже содержит /-мерные пространства и ТХм',и{9т), значит Т>м',ь'{/к)
и Т>м',ь'{9т) совпадают, а следовательно совпадают и пространства, натянутые на проекции дифференциалов функций из вторых частей