О топологических и категорных свойствах функторов единичного шара борелевских мер

• Автор: Садовничий, Юрий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
Введение
1 Предварительные сведения
1.1 Борелевские меры и их отбражения
1.2 Равномерные пространства
1.3 Знакопеременные меры
2 О некоторых категорных свойствах функторов 11т и 1/в
2.1 Функтор 17т
2.2 Функтор 1/в
3 Поднятие функторов 11т и (/д на категорию ограниченных метрических пространств и категорию равномерных пространств
3.1 Метрические пространства
3.2 Равномерные пространства
4 О полноте функторов {7Т и 1/в
4.1 Аксиома Мартина
4.2 О полноте функторов 7/х и /Уд
5 О мягкости отображений единичного шара борелевских мер
5.1 Абсолютные экстензоры в категории ТусЪ. и обратные
спектры
5.2 Мягкие отображения
6 О некоторых топологических и категорных свойствах знакопеременных мер
6.1 Борелевские меры и отображения
6.2 Функторы единичного шара
6.3 О норме Канторовича для знакопеременных мер
Литература

Введение
Знаменитая теорема Рисса об интегральном представлении линейных функционалов позволила перевести многие вопросы теории меры на язык функционального анализа и топологии. Эта теорема последовательно была доказана самим Ф. Риссом (1909 г) для отрезка, И. Радоном (1913 г) для компактов из К", (1. Банахом (1937 г) и С. Саксом (1938 г) для метризуемых компактов и С. Какутапи (1941 г) для произвольных компактов. Теорема Рисса была перенесена и на некомпактные пространства. Для нормальных пространств это сделал А.Д. Александров [7], для тихоновских — B.C. Варадарайн [7].
Эта теорема и теоремы А.Н. Тихонова о произведениях топологических пространств позволили начать интенсивные исследования слабой сходимости мер или *-слабой топологии на множествах мер, которую мы будем называть просто слабой топологией.
Широкий прорыв в исследованиях по топологической теории меры произошел в 50-е годы XX столетия. В 1957 году JI. Ле Кам [13] ввел понятие т-аддитивной меры (под названием т-гладкой) и слабо радоновой меры. Годом ранее Ю.В. Прохоров [14] получил ряд глубоких результатов, из которых отметим два, придав им современные формулировки:
1) Пусть А С Mr(X) — плотное семейство радоновых мер на тихоновском пространстве X. Тогда оно относительно компактно в Мц(Х). Если X гомеоморфно полному метрическому пространству, то верно и обратное: из относительной компактности семейства А С Mr(X) вытекает его плотность (знаменитая теорема Прохорова). Напомним, что семейство А С М(Х) называется плотным, если для каждого є > 0 существует такое компактное множество Ке С X, что [і(Х Кс) < є для всех fx 6 А.
2) Функторы Рц и Рт (радоновых и г-аддитивных вероятностных мер соответственно) переводят полные метризуемые пространства в полные метриэуемые (метрика Прохорова индуцирует слабую топологию и сохраняет полноту метрических пространств).
Я. Маржик [41] доказал, что всякая конечная бзровская мера на нор-

мальном счетно паракомпактном пространстве однозначно продолжается до регулярной борелевс.кой меры. Эта теорема позволила перенести хорошо разработанный аппарат исследования бэровских мер на борелев-ские меры.
В 1961 году появилась обстоятельная статья В.С. Варадарайна [7]. В ней, в частности, теорема Прохорова о сохранении полных метризуе-мых пространств функторами вероятностных мер была обобщена следующим образом: положительный конус т-аддитивных бэровских мер сохраняет класс полных метризуемых пространств.
Большую роль сыграла теорема С. Дитора и Л. Эйфлера [33] о сохранении открытых отображений компактов различными функторами неотрицательных, в частности вероятностных, мер. Эта теорема была использована Р. Хэйдоном [39] для доказательства адекватности класса пространств Дугунджи и класса нуль мягких отображений, совпадения классов пространств Дугунджи и А Е(0[-компактов и того, что всякое пространство Дугунджи является пространством Милютина. С. Дитор и Р. Хэйдон [34] доказали, что компакт Р(Х) является абсолютным ретрактом тогда и только тогда, когда А' является пространством Дугунджи веса ^ и.’].
В дальнейшем значительная часть исследований по топологической теории меры все более принимала категорно-функториалъную форму. Этому во многом способствовало введение Е.В. Щепиным [29], [30] класса нормальных функторов в категории компактов. Систематическое описание полученных в 70-е и 80-е годы результатов в этом направлении содержится в обзорах [24] и [25]. Эти обзоры хорошо дополняются статьями [38] и [6].
Детальное исследование функторов Рц и Рт вероятностных радоновых и т-аддитивных мер в категории Туей тихоновских пространств было проведено Т.О. Банахом [3], [4]. Этому предшествовали работы автора [15], [16], [17], в которых аналогичные результаты получены для функтора Рд вероятностных мер с компактными носителями. В.В. Фе-дорчук [23], [37] в основном завершил программу Т.О. Банаха исследования функторов Рт и Рд, связанную с их поднятиями на категории метрических и равномерных пространств.
В настоящей работе основными являются более общие объекты: единичный шар ит(Х) и Иц(Х) неотрицательных т-аддитивных и радоновых мер соответственно на тихоновском пространстве X и функторы 1!т и 11п. Исследуются категорные и топологические свойства функторов 1!т и Эти функторы поднимаются на категории равномерных и метрических пространств. Исследуются вопросы сохранения топологической и равномерной полноты функтором 1)т. Показано также, что

следующим свойством: (/3/)_1(У) = X ([35], теорема 3.7.15). Тогда для отображения (/(/3{) : [/(/ЗХ) [/(/ЗУ) по теореме 2.1.2 имеем
и(М)-1ит(У) = ит(Х). (2.1)
Таким образом, отображение ит{}) = [/(/3/)|[/т(Х) является согласно (2.1) ограничением совершенного отображения [/(/3/) на полный прообраз множества ит(У). Следовательно, отображение IIг(/) совершенно ([35], предложение 3.7.4). Теорема доказана. □
2.1.4. Теорема. Функтор 11Т сохраняет класс вложений.
Доказательство. Пусть / : X —1 У — топологическое вложение тихоновских пространств и /3/ : /ЗХ —> /ЗУ — стоун-чеховская компакти-фикация отображения /. Ясно, что /3/(/ЗХ X) С /ЗУ /(X). Положим А = {у 6 [/(/ЗУ) : 1/*(/(Х)) = 1Д/ЗУ)}, Покажем, что
[/(/3/)([/(/ЗХ) ит(X)) С [/(/ЗУ) Я. (2.2)
Действительно, пусть /( £ и(/ЗХ) ит(Х), т.е. /и*(Х) < /к(/ЗХ). Это означает, что существует такой компакт К С /ЗХ X, что /г(А ) > 0. Тогда (3/(К) С /ЗУ У — такой компакт, что [/(/3/)(р)(/3/(Л')) = мДД/ГЧДДА'))) > м(А') > 0. Следовательно, [/(/3/)(р)*(/(Х)) < [/(/3/)(р)(/ЗУ), т.е. и((3/)(р) £ Д. Таким образом, включение (2.2) проверено. Легко также видеть, что [/(/3/)(//т(А')) С Д. Таким образом, отображение 11т(/) = [/(/3/)|(д.(лг) : ?/т(Х) —> Д — совершенно, как ограничение совершенного отображения на полный прообраз. Покажем, что оно также инъективно, откуда будет следовать, что 3/т(/) : 11Т(Х) —> ИДУ) — вложение.
Пусть Р1,Р2 € ит(Х) — две различные меры. Тогда существует такое замкнутое множество Z С /ЗХ, что p^^{Z) ф рДХ). Мы утверждаем, что ит(/)(р1)((3/(г)) ф ит(/)(ц2)((3/(г)), откуда будет следовать, что меры ит(/)(у.) и [/Д/)(р2) различны. Действительно, положив Z' = (Д/)_1(Д/(Х)), отметим, ЧТО, ПО определению [/Д/)(р1 )(/3/(Х)) = рДХ') И [/Д/)(р2)(/3/(X)) = /К2(Х'). Поскольку / — вложение, то Х'ПХ = ХлАС Тогда, согласно лемме 2.1.1, Uт(^)(p)(|if(Z)) — //ДХ') = рДХ) Д р2(Х) = р2(Х') = [/т(/)(м2)(/3/(Х)), т.е. меры [/Д/)(р0 и ит(/)(р2) различны. Теорема доказана. □
Из теорем 2.1.3 и 2.1.4 вытекает
2.1.5. Следствие. Функтор 11Т сохраняет класс замкнутых вложе-