Свойства расположения и функциональные пространства

• Автор: Дельгадильо Херардо Пиньон
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Свойства расположения
§1. Свойства свойств расположения
§2. Построение свойств расположения
Глава 2. Р-полные пространства
§0. Начальные сведения
§1. Классы пространств
§2. Свойства Р-полных пространств
§3. Наследственно Р-полные компакты
Глава 3. Обобщения теоремы Гротендика
§1. Замкнутые вложения функциональных пространств в
произведения пространств
§2. Обобщения теоремы Гротендика
§3. Функции на произведениях пространств
Список обозначений
Литература

ВВЕДЕНИЕ
В 1952 году Гротендик (см. [36]) доказал следующую важную теорему: если X — счетно компактное пространство и М есть относительно счетное компактное подмножество пространства СР(Х) непрерывных вещественных функций в топологии поточечной сходимости, то замыкание подмножества М в Ср(Х) — компакт. Впоследствие многие авторы (см. [46, 39, 14, 2, 1, 26]) обобщали теорему Гротендика и получили ряд теорем, имеющих следующую структуру: если пространство X принадлежит некоторому классу пространств V и М С СР(Х) в каком либо смысле ограничено в СР(Х), то М — компакт.
Для унификации доказательств разнообразных обобщений теоремы Гротендика в монографии [1], посвященной Рр(Х)-теории, A.B. Архангельский ввел общее понятие расположения множества М С X в пространстве X. “Под свойством расположения понимаем такое свойство, которым может обладать подпространство М по отношению ко всему пространству X”. Если такое свойство Р имеет место для пары М, X, мы говорим, что М Р-расположено в X.
В диссертации предлагается общий подход к изучению свойств расположения топологических пространств. Всякое свойство расположения Р естественным образом порождает топологическое свойство Р-полноты.
Рассматриваемые в диссертации пространства считаем тихоновскими, если точно не указаны предположения об отделимости.
Пространство X называется Р-полным, если для любого М С X Р-

расположено в X подпространство М — компакт. Класс Р-полных пространств будем обозначать через /С(Р), а класс наследственно Р-полных пространств — через /г/С(Р). Мы исследуем, в частности, поведение топологических свойств типа Р-полноты при компактных отображениях.
Полученные результаты представляют интерес для Ср-теории — во-первых, в связи с тем, что они открывают общий подход к получению утверждений типа теоремы Гротендика, и во-вторых, в силу двойственности, которой в Ср-теории связаны вложения и непрерывные отображения топологических пространств.
Свойство расположения “М относительно счетно компактно в X” обозначается через Роск. В этой терминологии теорему Гротендика можно сформулировать следующим образом: если X — счетно компактное пространство, то Ср(Х) — Роск-полное пространство. Обобщения теоремы Гротендика имеют следующий вид: если Р — некоторый класс пространств и Р — некоторое свойство расположения, то Ср(Х) — (наследственно) Р-полное пространство для X 6 V.
Напомним определения еще нескольких свойств расположения подпространства М в пространстве X:
Р0 — каждая непрерывная вещественная функция на X ограничена на М (ограниченность);
Рп — замыкание множества М в X — псевдокомпактное пространство (псевдокомпактное расположение);
Роск — Для каждого бесконечного множества А С М в X есть предельная точка (относительная счетная компактность);
Рек — существует счетно компактное подмножество Б в X, содержащее

Введенная терминология позволяет сформулировать наиболее важные результаты из раздела Ср-теории, посвященного обобщениям теоремы Гро-

|{УПР : (VСи)СК ф 0}| < |{У : V ГК ф 0}|. Следовательно, семейство {V : V П К ф 0} бесконечно и М РОГ7Ш-расположено в IV.
Аналогично доказывается свойство (Рз) для Р$тп.
(г) Пусть М Р„-расположено в I, I 6 X и II — окрестность точки х. Рассмотрим 2 случая.
1. Пусть х £ М. Тогда в качестве Ь достаточно взять множество М.
2. Пусть х £ М. Положим Д = МП[/. Так как М — регулярное пространство, найдется открытое множеств IV в М такое, что М = ¥ и Д и х £ У — достаточно взять IV = МТ, где Т — открытое множество в Р и Г С Р. Докажем, что Ь = ТГ ПМ - искомое множество. Ясно, что Ь С М и М С Ь и и, причем х £ Ь, иначе х £ Ш — противоречие с выбором ]¥. Остается доказать, что Ь Рп-расположено в X. Множество V открыто в МиМ всюду плотно в М, поэтому ]У = ¥ П М = Ь[ 2, теорема 1.3.6]. Поскольку М псевдокомпактно, IV также псевдокомпактно [2, упражнение 3.10.Е.(й)]. Следовательно, Р — псевдокомпактное пространство. Пункт (г) доказан.

Из утвеждений 1.1.6 и 1.2.25 вытекает
Теорема. 1.2.26. Любое свойство расположения из перечисленных в утверждении 1.2.25 удовлетворяет условию (Р).