Дифференциальная геометрия почти келеровых многообразий

• Автор: Третьякова, Ирина Владиславна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ:
Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1. Почти комплексные и почти эрмитовы структуры
§2. Структурные уравнения почти келеровых многообразий
§3. Некоторые классические тензоры почти келеровой структуры
Глава 2. ПОСТОЯНСТВО ТИПА ПОЧТИ КЕЛЕРОВЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
Глава 3. СВОЙСТВА ИЗОТРОПНОСТИ ПОЧТИ КЕЛЕРОВЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
§ 1. Постоянство голоморфной секционной кривизны почти
келеровых многообразий
§ 2. Аксиома г-голоморфных плоскостей для почти келеровых
многообразий
Глава 4. ТОЖДЕСТВА КРИВИЗНЫ ДЛЯ ПОЧТИ КЕЛЕРОВЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
§ 1. Почти келеровы многообразия классов 11], К2, Яз
§ 2. Почти келеровы многообразия классов СЬС, СТС, СТС
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ.
Почти эрмитовы многообразия традиционно являются предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии, так как
представляют собой один из наиболее содержательных примеров
дифференциально-геометрических структур. Результаты исследований по теории почти эрмитовых структур нашли свое применение в различных разделах математики и теоретической физике. Так, келеровы многообразия интенсивно изучаются как в дифференциальной геометрии, так и в алгебраической геометрии, теории групп Ли и однородных пространств, топологии, теории эллиптических дифференциальных операторов. Изобилие интересных и важных свойств келеровых многообразий побудило исследователей к изучению более общих почти эрмитовых структур.
Широкую известность получили работы, посвященные изучению приближенно келеровых, почти келеровых, квазикелеровых структур.
По мере изучения данных многообразий выяснилось, что они обладают сходными свойствами и признаками. Возникла задача классифицировать различные виды почти эрмитовых многообразий по некоторому единому признаку, и такая попытка была предпринята. В 1960г. Кото [45] установил отношения включения для многообразий, имеющих достаточное сходство с келеровыми. Позднее, в 1969г. Альфред Грей [35] разработал точный метод конструирования примеров конкретных
многообразий, иллюстрирующих схему Кото. Наконец, в 1980г. вышла работа А. Грея и Хервеллы [39], в которой авторы получили в известном смысле исчерпывающую классификацию почти эрмитовых структур по их дифференциально-геометрическим инвариантам первого порядка.
Именно, Грей и Хервелла рассмотрели представление унитарной группы и(т), где т-комплекспая размерность многообразия, на пространстве 'У/ тензора типа (3,0). Они установили, что действие Щт) вполне приводимо,

причем ¥ в результате действия этой группы распадается в прямую сумму четырех неприводимых пространств
IV = №, Ф У2 © У3 © МУ4.
Тем самым действие группы и(т) определяет 16 инвариантных подпространств пространства У] каждое из которых определяет тот или иной класс почти эрмитовых структур, а именно
{0} = К,ЧУ2,¥3,®W2,W] ©¥3,1У, © ’№4,¥2 0 0 У4,У3 ф У4,
У, © У, 0 Ф W2 ® W4,WI ®Ш3 ©W4,W2 © У3 ФW4,WI ©W2 © W3 Ф у4.
Грей и Хервелла сформулировали условия принадлежности произвольной почти эрмитовой структуры конкретному классу почти эрмитовых структур на языке инвариантного исчисления Кошуля. Отметим, что и большинство исследований по изучению почти эрмитовых структур выполнено на языке инвариантного исчисления Кошуля [46]. Но наиболее удобным является метод присоединенных О-структур, т.е. современная версия метода внешних форм Э. Картана [4], развитого Г.Ф. Лаптевым и А.М. Васильевым. В рамках этого метода исследование геометрических свойств почти эрмитовых многообразий проводится не на самом многообразии, а на пространстве некоторой О-структуры, естественным образом присоединенной к многообразию. Это позволяет глубже понять природу геометрических свойств многообразий, получать более наглядные и лаконичные результаты.
В работе В.Ф. Кириченко [9] получена первая группа структурных уравнений произвольного почти эрмитова многообразия на пространстве присоединенной О-структуры, введены понятия структурных и виртуальных тензоров, которые образуют полный набор дифференциальногеометрических инвариантов 1-го порядка для почти эрмитовых структур. Это позволяет провести такую классификацию почти эрмитовых структур, в которой принадлежность произвольной почти эрмитовой структуры тому или иному классу Грея-Хервеллы определяется наглядными условиями, налагаемыми на структурные и виртуальные тензоры. Эти условия для

Подставим разложения Люа и АВаЬс по соответствующим базисам в
(1.2.3)
“ Aacf ®d Л ®Г + Л ®d Л ®Ь ~ Aacd®C A ®d Л ®b - AV Л ®с Л ®b
— 2(B[bc)hBhad + BhcbBadll )md лсос л ®„ + ВаЬс|>ь л ®ь л ®с + Ba[bcd]®d л шь л юс + + Babcd®d АВЬЛ(0‘=0.
Это выражение можно рассматривать как разложение 3-формы по стандартному базису пространства 3-форм. В силу линейной независимости базисных форм коэффициенты этой линейной комбинации все тождественно равны нулю.
Aacf =0;A'WI =0;Abcd = Baedb;Babchd =0;
Ba[bcd] = 0;Aadc1 =-2(B[bc]hBhad -BhcbBadh).
Преобразуем правую часть последнего тождества.
- 2(B[bclhBhad - BhcbBadh) = 2(BhbcBadh - В[bc]b В had ) = 2(Bhbc В adh ~ ~ (Вbch + Bdbh)Bhad)
= 2BhbcBadh - BbchBhad + BcbhBhad = (Bbhc + Bcbh)Bhad + 2BhbcBadh = 2BhbcBadh + BhbcBhad = = 2BhbcBadll - Bhbc(Bdha + Badh) = BhbcBadh + BllbcBdah.
AadCl = Bhb°Badh - BhbcBdah.
Итак,
A®b = Bbdcacoc A cod + A>d a ®c + Bacdb®c A ®d ;
A® b = Badcb<»c a cod + Abd®d a ®c + Bbcdaœ° a ®d.
С другой стороны,
Л®а = d®a -аф А сф -2Bacl'Bhbdcod АЮС, следовательно,
d®b = со, а юь + 2BachBhbd®d л ®с + Дшь =флф+ Badcb®c a ©d +
+ Bbcda©c а ®d + (Abd + 2BachBhbd)®d а ®с,
ВаЬс =Babcd® +Babc ®d.
С другой стороны,
ДВаЬс =dBabc + Bdbc®f + Badc®b + Babd®c>
следовательно,