О классах разложимых пространств

• Автор: Филатова, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 55 с.

Краткое содержание работы

Применяемые в работе обозначения б

Основные определения

Глава 1. Корректные пространства

1.1 Свойства корректных пространств

1.2 Наследственно корректные пространства

1.3 Секвенциально непрерывные и ^-секвенциально непрерывные

отображения

Глава 2. Разложимость линделефовых пространств

2.1 Разложимость наследственно финально компактного

пространства

2.2 О разложимости финально компактного пространства
2.3 О разложимости некоторых обобщений финально компактного пространства
Литература
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Пространство называется разложимым, если оно содержит два дизъюнктных плотных подмножества, и неразложимым в противном случае. Эти и близкие к ним понятия были введены в работах Хьюитта [36| 1943 г. и Катетова [12] 1947 г. Свойство разложимости тесно связано с проблемой Катетова: “Существует ли плотное в себе пространство, на котором всякая вещественнозначная функция является непрерывной в некоторой точке?". Очевидно, что ответ на вопрос Катетова нужно искать в классе неразложимых простраств.
К настоящему времени доказана разложимость многих классов пространств, а также построены примеры неразложимых пространств.
Разложимость метрических и локально компактных хаусдорфовых пространств была доказана Хьюиттом [36) в 1943 г., им же построены примеры плотных в себе неразложимых пространств (в частности, счетных неразложимых). Падмавалли (РабтауаПу) [38| в 1953 г. построил пример неразложимого связного хаусдорфова пространства. Андерсон Д.Р. [26[ в 1965 г. показал, что для всякого бесконечного кардинала к существует пример связного неразложимого хаусдорфова пространства, дисперсионный характер которого равен к.
А.Г. Елькин [7| доказал, что пространство (Х.т) неразложимо, если и только если топология т содержит базис какого-нибудь ультрафильтра на множестве X. Это утверждение он обобщил в [9| следующим образом: пространство (Х.т) не является (к + 1 [-разложимым (где к натуральное число), если и только если топология т содержит базис какого-нибудь фильтра на множестве X, являющегося пересечением не
более к ультрафильтров. В классе урысоновских пространств А.Г. Ель-киным для всех натуральных чисел к были построены примеры связных ^-разложимых пространств, не являющихся (к + 1)-разложимыми, что усилило упомянутые выше результаты Падмавалли и Андерсона. Для построения разного рода разложимых, неразложимых и близких к ним пространств А.Г. Елькиным была развита теория р-концов максимальных центрированных систем множеств со свойством р. А.Г. Елькии изящным методом доказал в [8| существование в любом 7)-пространстве без изолированных точек ультрафильтра, имеющего базу из плотных в себе подпространств.
Широкий класс максимально разложимых простраств был выделен А.Г. Елькиным в [5| и назван им я-пространствами (например, такими являются пространства точечно счетного типа). В.И. Малыхиным |14] и
А.Г. Елькиным построены примеры, показывающие, что 7г-ироетранства не исчерпывают класса всех максимально разложимых пространств. Несколько условий для максимальной разложимости пространств дано Пирсоном [40].
В.И. Малыхиным [15] в 1975 г. была доказана разложимость произведения двух пространств при дополнительных предположениях. Им же [13] в предположении континуум гипотезы доказана максимальная разложимость произведения счетного пространства на пространство мощности Не более 01].
Пусть X = ]ф{Ха|а € А}, а топология г на произведении задастся идеалом, покрывающим множество А. Если каждое из пространств Х„ максимально разложимо, то (А, т) тоже максимально разложимо. Этот результат А.Г. Елькина [6[ перекрывает результаты такого сорта, полученные ранее Сидером и Пирсоном [28|, [29|.
Н.В. Величко [4] в 1976 г. доказана разложимость плотных в себе /с-пространств. Вопрос о разложимости таких пространств был сформулирован в [10]. Для доказательства разложимости таких пространств им было введено понятие корректного пространства. Е.Г. Пыткеев [19| в 1983 г. определил понятие 7Г5Н-пространства и доказал максимальную разло2.3. О разложимости некоторых обобщений финально компактного пространства

пространством. ■
Вес приведенные выше рассуждения показывают, что наиболее полным и естественным обобщением /с-пространств на случай финальной компактности являются £-пространства.
Совершенно очевиден вопрос о разложимости введенных выше пространств.
Ниже будет доказано, что регулярное I-пространство несчетного дисперсионного характера разложимо. Поскольку, В.И.Малыхиным построен пример хаусдорфова неразложимого финально компактного пространства, а Хыоиттом пример счетного неразложимого, то требование регулярности и несчетности дисперсионного характера по-существу.
Приведенные ниже три простых утверждения будут использованы для доказательства разложимости регулярных ^-пространств несчетного дисперсионного характера.
Утверждение 2.3.3 Свойство быть Спространст,вом наследуется замкнутыми и открытыми подмножествами.
Заметим, что свойство быть I-пространством не наследуется произвольными подмножествами X, поскольку еще Хьюиттом были построены примеры вполне регулярных неразложимых пространств, следовательно, как мы увидим в дальнейшем, не являющихся ^-пространствами, а в [И] доказано, что всякое вполне регулярное пространство может быть вложено в компактное пространство.
Утверждение 2.3.4 Пространство X является I-пространством в том и только том случае, когда для всякого А - незамкнутого в X множества найдутся точка х £ [А] А и финально компактное подпространство Ь, такие, что х £ [ЬГА.
Доказательство. Пусть X ^-пространство. Предположим, что нашлось такое АС X, что для всех х С [Л] А и всякого Ь финально компактного подтгространства, точка х является изолированой в (А П V) и {./:}. Но тогда [А] не является ^-пространством: пересечение А со всяким финально компактным подмножеством Ь С [А] является замкнутым в Ь