Геометрия и гамильтонов формализм интегригуемых цепочек

• Автор: Пенской, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 61 с.

Содержание
Введение
1. Канонически сопряженные переменные для системы Вольтерра с периодическими граничными условиями
§1.1. Система Вольтерра, оператор Якоби и гипер-
эллиптические кривые
§1.2. Канонически сопряженные переменные для
квадратичной скобки Пуассона
§1.3. Канонически сопряженные переменные для
кубической скобки Пуассона
§1.4. Схема Ленарда-Магри и явный вид интегралов. 28 §1.5. Серия интегралов и голоморфные дифференциалы
2. Алгебро-геометрические скоУф<гчПуассона для разностных операторов й система Вольтерра
§2.1. Алгебро-геометрические скобки Пуассона
§2.2. Высшие потоки Вольтерра и алгебро-геометрические скобки на пространтсве операторов
3. Система Вольтерра как градиентный поток
4. Дискретные лагранжевы системы на группе Вирасоро
§4.1. Конструкция симметричных и правоинвариантных лагранжианов
§4.2. Лагранжианы, зависящие только от первой
производной диффеоморфизма
§4.3. Лагранжианы, зависящие от нескольких производных диффеоморфизма
Литература

Введение
Одним из замечательнейших достижений математики XIX века является теория классических интегрируемых систем. В работах Якоби, Вейерштрасса, Ковалевской, Неймана и других в результате синтеза идей алгебраической и дифференциальной геометрии и теории аналитических функций были достигнуты значительные результаты в интегрировании динамических систем классической механики. Однако после работ Пуанкаре в начале XX века интересы сместились от точного интегрирования к качественным методам исследования динамических систем.
Новый период в теории интегрируемых систем начался в шестидесятых годах нашего столетия с открытием метода обратной задачи рассеяния. Созданный для интегрирования уравнения Кортевега - де Фриза, этот метод скоро нашел гораздо более широкие приложения.
Вскоре после этого в работах С. П. Новикова, Б. А. Дубровина, В. Б. Матвеева, А. Р. Итса, И. М. Кричевера и других [3], [4], [5], [6], [15], [16], [17], [20] в результате синтеза идей алгебраической геометрии, спектральной теории и гамильтоновой геометрии появился метод конечнозонного (алгебро-геометрического) интегрирования. Для конечномерных систем этот метод позволил не только проинтегрировать их, но и выписать их решения явно в -функциях.
Одним из популярных приложений методов обратной задачи и конечнозонного интегрирования являются интегрируемые цепочки, такие как цепочки Тоды, система Воль-терра и другие (см., например, [4], [5], [17]). Система Воль-терра находится в центре внимания в первых трех главах

настоящей работы.
Система Вольтерра
<5 — Сг‘(Сг+1 *4—1)
возникла впервые в работах В. Вольтерра в математической теории борьбы за существование [38] и описывает динамику популяций видов в иерархической структуре «хищник-жертва», где особи г-го вида суть хищники для г + 1-го и жертвы для г — 1-го. Также система Вольтерра возникает в физике, где описывает тонкую структуру спектров ленгмюровских колебаний в плазме [14], [19], поэтому иногда называется «Ленгмюровской цепочкой». В континуальном пределе система Вольтерра переходит в уравнение КдФ (см., например, [23]), поэтому иногда называется еще «дискретным КдФ».
С. В. Манаков [19] и независимо М. Кац и П. ван Мер-беке [29] доказали интегрируемость системы Вольтерра.
Исследованию системы Вольтерра посвящены многие работы, см., например, [1], [5], [7], [18], [19], [23], [26], [29], [32], различные ее обобщения рассмотрены в [1], детальное обсуждение можно найти в [22].
Новый период теории интегрируемых систем характеризуется повышением интереса к гамильтонову формализму и симплектической геометрии. С одной стороны, отметим работы И. М. Гельфанда и И. Я. Дорфман [2], Ф. Магри [30], в которых введено и исследовано важное понятие согласованных скобок Пуассона. С другой стороны, в теории интегрируемых систем имеется следующее замечательное явление: переменные, естественные с точки зрения спектральной теории и алгебраической геометрии, обладают «хорошими» симплектическими свойствами.
Впервые это было отмечено, по-видимому, Г. Флаш-кой и Д. Маклафлином на частных примерах уравнения КдФ и цепочки Тоды [27]. Попытка сформулировать это явление в математически аккуратной форме привела С. П. Новикова и А. П. Веселова [11], [12], [35], к понятию алгебро-геометрической (аналитической) скобки Пуассона

§1.5. Серия интегралов 1г и голоморфные дифференциалы
Рассмотрим теперь потоки, порождаемые интегралами /1
Заметим, что участвующий в определении модуль (-Р& = ]п(|р/с|)) необходим только для вещественности 1, если «комплексифицировать» динамику, позволив а,; быть комплексными и, соответственно, убрать проистекающие из вещественности ограничения на спектральные данные, то знак модуля можно опустить без потери каких-либо результатов. Предположим также далее, что мы работаем в открытой по Зарисскому области, в которой уравнение А~]Л' = 1 не имеет кратных корней. Опустим знак модуля для простоты выкладок и будем использовать для квадратичной скобки канонически сопряженные переменные = 2 , 7/0; а Для кубической скобки канонически
сопряженные переменные (±<щ. = 2 '"/*, 7/0- Знак ± возни-

кает от неоднозначности выбора между рк и -щ и зависит от того, на каком листе лежит соответствующий ук полюс
Известно, что производящая функция канонического преобразования р, д —> /, перехода к переменным
” действие-угол” /, <р выглядит так:
ными ” действие”, а инволютивными интегралами Д :
3(1, Ч) = Г Р(1,Ч)

причем
воспользуемся не перемен-

•'71.0,—,7АГ,0
для квадратичной скобки и, аналогично,