Представление Вейерштрасса поверхностей в трехмерных группах Ли и его приложения

• Автор: Бердинский, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 77 с.

Оглавление
Введение
1 Представление Вейерштрасса в группах Nil, SL2 и Sol
1.1 Левоинвариантные метрики на группах Ли
1.2 Деривационные уравнения
1.3 Оператор Дирака и энергия поверхности
1.4 Геометрии Терстона на группах Ли Nil, SL2 и Sol
1.4.1 Группа Nil
1.4.2 Группа SL2
1.4.3 Группа Sol
1.5 Тензоры кривизны трехмерных групп Ли
1.6 Построение поверхности по ф
1.7 Представление поверхностей в группе Nil
1.8 Представление поверхностей в группе SL2
1.9 Представление поверхностей в группе Sol
2 Поверхности вращения в группе Nil и обобщенный функционал Уиллмора
2.1 Предварительные сведения
2.2 Основные тождества для поверхностей на которых обобщенный дифференциал Хопфа А
2.3 Сферы вращения постоянной средней кривизны в Nil
2.4 Обобщение теоремы Хопфа для Nil
2.5 Замечание к изопериметрической задаче в группе Nil
2.6 Свойства обобщенного функционала Уиллмора
2.7 Уравнение Эйлера-Лагранжа для функционала Е

3 Поверхности постоянной средней кривизны в Nil
3.1 Уравнения Всйнгартена и их условия совместности
3.2 Об условии вещественности

Введение
Представление Вейерштрасса (спинорное представление) поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве состоит в следующем. Поверхность представляется (локально) в виде.
х1 = (О) + ! (т2 {Ф1 + Ф) Лг - {Ф1 + Ф)
х2 = х2(0) + I (Ф1 - ф{) (1г + (-ф% - ф>1)
х3 = ж3(0) + J (ф1ф2<1г + ф1-ф2с1г) ,
где г-конформный параметр на поверхности, ф = (-01, ’2)' решение уравнения Дирака

и Р-оператор Дирака с некоторым вещественным потенциалом V (г, г)
Хотя в различных видах это представление появлялось и ранее, в форме использующей уравнение Дирака оно, по-видимому, впервые возникло в работе Конопельченко [4], где показано как решение и{г, г, £) мо-
(и 0

1 V 0 и
жать производные функций п3 = (N,e3) и Z3 = {/-, е3):
923 = (I+1) Пзе2“’
= 2аг2з + Ап з, (1-23)
9пз = -2Ле-2а23 - (я - Z3
Мы не будем здесь исключать лишние уравнения. Заметим также, что величины пз и Z:> связаны тождеством
«| + е-2п|Яз|2
Следует отмстить, что подобная система уравнений совместности, в несколько других терминах, представлена в [8]. Но вместо комплексной функции на поверхности Z3, в [8] используется вектор проекции ез на касательную плоскость к поверхности. В наших терминах этот вектор представляется как Re[4e~2aZsf~]. В главе 3 мы покажем как переписать систему уравнений совместности, в случае поверхностей постоянной средней кривизны, в форме позволяющей вести исследования методами интегрируемых систем.
В заключении мы вычислим функционал энергии для замкнутых поверхностей в группе Nil.
Предложение 4. Для замкнутой, ориентированной поверхности М в группе Nil, функционал энергии вегцественный и равен:
Е(М) = Jm (Ш + Ш2)2 ~ (|02|2 - Ы2)2) (1-24)
Доказательство. Подставим выражения С/№1 и Vnu в тождество (1.10) и получим, что:
д{Фіф2) = (Ш2 - IV'il2) + - Ш*)-