Индексы 1-форм, обобщенные результанты и многогранники Ньютона

• Автор: Эстеров, Александр Исаакович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

Глава 1. Приложения основных результатов

1.1. Приложения к инвариантам комплексных особенностей

1.2. Приложения к инвариантам вещественных особенностей

1.3. Приложения к обобщенным результантам

Глава 2. Предварительные сведения

2.1. Индексы пересечения

2.2. Вееры, многогранники и объемы

2.2.1. Определения

2.2.2. Некоторые вычисления

2.2.3. Смешанный объем пар многогранников

2.3. Гладкие торические многообразия

2.3.1. Определения
2.3.2. Главные части сечений линейных расслоений
2.3.3. Индексы пересечения на торических многообразиях
Глава 3. Результантные циклы
3.1. Определение
3.2. Торические результантные циклы
3.3. Основные результаты
3.3.1. Индекс пересечения результантных циклов
3.3.2. Разрешение особенностей результантного цикла
3.3.3. Результантные циклы и индексы 1-форм
Литература

В этой работе индексы пересечения аналитических множеств некоторого специального вида (результантные циклы, определение 3.1) выражаются через многогранники Ньютона определяющих их наборов функций при условии, что главные части функций находятся в общем положении. Частными случаями результантных циклов являются полные пересечения и множества максимальной коразмерности точек вырождения голоморфных матриц. Частными случаями индексов пересечения таких множеств являются индекс Пуанкаре-Хопфа особенности векторного поля, индекс Гусейн-Заде-Эбелинга набора ростков 1-форм на изолированной особенности полного пересечения ([1], [2]) и вычет Сувы набора сечений векторного расслоения в изолированной точке их линейной зависимости ([10]). Основные результаты работы позволяют вычислять эти инварианты особенностей в терминах многогранников Ньютона, дают описание многогранника Ньютона обобщенного результанта, дополняющее [19] и [26], а также позволяют получить новую форму ответа в некоторых известных формулах для инвариантов особенностей в терминах многогранников Ньютона.
Результаты работы основаны на торическом разрешении особенностей ростка результантного цикла, обобщающем конструкции Хованского [13] в случае гиперповерхности и Ока [9] в случае полного пересечения. Кроме индекса пересечения результантных циклов, с помощью этого обобщения выражены в терминах многогранников Ньютона ([-функция монодромии голоморфной функции на ростке результантного цикла (что обобщает результаты [5], [7] и [9] в случае полного пересечения), радиальный индекс ростка 1-формы на особенности результантного цикла ([3], [4]), а также перенесены на результантные циклы результаты работы [14] о полных пересечениях в комплексном торе. Получены также вещественные аналоги некоторых методов и результатов работы.

История темы работы такова. В начале семидесятых годов В. И. Арнольд возродил интерес к следующему обобщению понятия старшего члена ряда Тейлора аналитической функции одной переменной. Множество степеней мономов от п переменных - положительный октант Щ. решетки Ъп. Для ростка аналитической функции / : (Кп, 0) —> (К, 0), где К = С или К, рассмотрим множество Лей" степеней мономов, входящих в ряд Тейлора / с ненулевыми коэффициентами. Выпуклая оболочка всех степеней вида а + Ь, а € А, Ь £ й" называется многогранником Ньютона функции /. Объединение его ограниченных граней называется диаграммой Ньютона функции / и является обобщением степени старшего члена ряда Тейлора одной переменной. Сумма всех мономов ряда Тейлора / со степенями из диаграммы Ньютона называется главной частью функции / (это по определению многочлен) и является обобщением старшего члена ряда Тейлора одной переменной. (Ньютон рассматривал случай п = 2 - многоугольники Ньютона; после этого многоугольники Ньютона использовались при изучении кривых на плоскости.)
Анализируя эмпирический материал, накопленный теорией особенностей, Арнольд предположил, что целочисленные характеристики диаграмм Ньютона (количества целых точек, объемы граней) геометрически связаны с инвариантами особенностей функций. В 1975 г. А. Г. Кушниренко получил первые общие результаты в этом направлении - в работе [5] он нашел число Милнора ростка аналитической функции с данным многогранником Ньютона и главной частью общего положения. Он также рассматривал глобальный аналог поставленной задачи, когда вместо ростка функции рассматривается многочлен Лорана на комплексном торе, а его многогранником Ньютона называется выпуклая оболочка степеней его мономов. Кушниренко нашел эйлерову характеристику неособого множества уровня многочлена Лорана общего положения с данным многогранником Ньюто-

Определение 2.3. Назовем многогранники Дх Д„ переплетенными, если для любого 7 £ М" существует I 6 {1 п}, |/| = сИт Ц£ Ап + 1, такое что А] С при любом г € I.
Пусть Дь ..., Дп С К" - целочисленные многогранники, и множества К" Д,- ограничены. Пусть из = и3{бх{ - росток 1-формы, такой что из, 6 С{Д,-},г = 1 гг. В случае главных частей общего положения к 1-форме и можно попытаться применить следствие 1.4, к = 0, а к набору функций из* = (сщ,... ,изп) следствие 1.5. Нам понадобятся следующие леммы (они следуют из теоремы Бертини-Сарда и доказываются как в [17], гл. И, § 6.2).
Лемма 2.7. Если А Ап переплетены, то для комплексной матрицы В и главных частей функций из{ € С{Дг-} общего положения главные части набора функций (Вса)„ : Сп —> Сп удовлетворяют условию общего положения из следствия 1.1 относительно многогранника иА1 лпОбозначим через е е„ естественный базис в 1В.
Лемма 2.8. Если Дх + ех Д„ + е„ не переплетены, то главная часть 1-формы из не невырождена в смысле определения 1.5. Если они переплетены, то условие невырожденности главных частей 1-формы и и функций /1 б смысле определения 1.5 - условие общего положения на главные части из соп, /х /*.
Следствие 1.1 можно вывести непосредственно из формулы Ока (следствие 1.5) при к = та — 1, использовав равенство р,(из,... ,изп) = тс1о из — 1 (здесь ц - число Милнора особой точки отображения, тс! -индекс Пуанкаре-Хопфа нуля векторного поля). Следствие 1.4, к