Систолы в геометрии Карно-Каратеодори на группах Гейзенберга

• Автор: Донцов, Виктор Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с. : ил

Содежание
Глава I. Высшая группа Гейзенберга
1.1 Координаты I и II рода.
1.2 АвТОМОрфИЗМЫ ГРУППЫ #2п+
1.3 Равномерные решетки на Н-2П+
Глава II. Метрики Карно-Каратеодори
2.1 Контактные структуры на Н^п+у
2.2 Левоинвариантные метрики на (Н2„+1,ш)
2.3 Кратчайшие в пространствах (Щп+ь^’)
2.4 Решение вариационной задачи
2.5 Свойства метрик К-К на Щп+х
2.6 Кривая Г£ и её свойства.
Глава III. Мера Хаусдорфа на (#2п+ъ/э)
3.1 Левоинвариантные меры на Щп+
3.2 Мультипликативная константа рп геометрии К-К.
Глава IV. Систолы на Я2п+
4.1 Систолы равномерных решеток и нильмногообразий на #2п+
4.2 Систолы на Н% (доказательство теоремы).
4.3 Исследование функции а(х),х 6 К на Щ.
4.4 Систолы на Л2п+ъ« > 1 (доказательство теоремы).
Введение
Одним из новых направлений в современной геометрии является изучение метрических пространств с внутренней метрикой. Начало этих исследований было положено А.Д. Александровым. Познее изложение этих идей можно найти в обзоре [1]. Кроме того, этому, направлению посвящены следующие работы: [2], [3], [7], [11], [12], [18], [19], [20]. В этих работах был предложен новый подход к изучению геометрии пространств и многообразий, в котором требования дифференцируемости и гладкости заменяются условиями касающимися внутренней геометрии рассматриваемых

пространств. К метрическим пространствам с внутренней метрикой относятся римановы многообразия, финслеровы пространства, а также пространства с метриками Карно-Каратеодори. Среди последних особый интерес представляют нильмногообразия с метриками Карно-Каратеодори (К-К). Геометрия К-К находит применение во многих задачах механики, вариационных задачах, в вопросах оптимального управления. Интересной характеристикой геометрии К-К является систолическая константа. Фактически эта константа появилась для римановых поверхностей в работах Лёвнера и П. Пу [31] в начале 50-х годов. Двадцать лет спустя, М. Верже формализовал и распропагандировал идеи Лёвнера и П. Пу дав общее определение систолических констант для римановых многообразий произвольной размерности. Изложение этих идей и большое количество ссылок можно найти в обзоре [26].
Определение 1. 1-систолой эуя(Мп,д) (компактного) риманого многообразия (Мп,д) называется длина кратчайшей негомотопной нулю замкнутой геодезической.
Тогда систолическая константа о определяется следующим образом:
Это определение легко обобщается на пространство с внутренними метриками.
Пусть (Х,с1) компактное метрическое пространство в котором задана некоторая непрерывная кривая уД) : [0,1] —> X. Тогда определена длина кривой у: '
где хі,... , хт— произвольная последовательность точек кривой у, занумерованных в порядке их расположения на кривой, а верхняя грань берется по всем таким последовательностям.
Метрика д называется внутренней, если для любых точек х,у Є X, выполняется равенство:
где нижняя грань берется по всем кривым 7, соединяющим хну. Кратчайшей соединяющей хну называется кривая, длина которой равна д{х,у).

Ху...,Хт |
<І(х,у) = ІПИД7),

Если п размерность по Хаусдорфу пространства X [24], то на X определена п мерная мера Хаусдорфа порожденная метрикой d. Пусть D — D(n) — класс внутренних метрик хаусдорфовой размерности п, и конечной п мерной меры Хаусдорфа. Определим систолическую константу а следующим образом:
„т - м Н^Х'Л) т
' d€D(Sys(x
где sys(X, d) есть, по определению, минимальная длина негомотопной нулю замкнутой петли на X.
В случае римановых многообразий, определение (2) совпадает с определением (1). На сегодняшний день, точно решенных систолических задач имеется только три.
Теорема. (Левнер, 1949, не опубликованйая) Пусть Т2 — тор с
вой метрикой д. Тогда:
vol(T2,g) ч/З
(8УВ(Т2,0))2 " 2 ’
причем равенство достигается тогда и только тЬгда, когда (Т2, д) — плоский экваториальный тор, то есть Т’2 = IX2/Є, где Є — гексогоналъ-ная решетка ей2.
Теорема. (Р.Ри [31]) Пусть на ИР2 задана риманова метрика д. Тогда:
то1(КР2, д)
(sys(RP2,p))2 тг’
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда g — метрика постоянной кривизны.
Доказательство этих теорем можно найти в [7].
Теорема. (С.Bavard [25]) Пусть К2 — бутылка Клейна с римановой метрикой д. Тогда :
vol(K2,g) 2Д
(sys(K2, Таким образом,
tr(RP2) = i, <г(Т2) = ^, 4=^.

лами (42), найдем значения е и Я
1 ________________ 1—cosp oN f. _ jiJ2l
4n fi-sinii’ Z> — sinii/2 ' *1 ( .
0 *1— sil)p _ <2— 8mt* л ; 7 ^f/sin^- v i
*1 - I ’ =
Приближенные значения с точностью до 2-го знака после запятой, следующие:
*1 = 3,508, е = 1,784л/с, *2 = 2,78, тогда 1.259-s/c < /2 < 1,260>/с

Учитывая, что е > | по свойствам 3-6 имеем: г(27г) = — > с и ^

Из свойства 9) следует, что Г£ выпукла вниз при 0 ^ I ^ 1(2Ц), поэтому ^ > |с и р1 лежит под Г£ всюду на этом интервале. При I — у/с происходит пересечение Г£ И Р1 и в силу выпуклости вверх Г£ при / > /(2£о) (см. свойство 9) мы получаем, что других точек пересечения у них нет, поэтому всюду в интервале 0 ^ I ^ у/с, р лежит под Г£.
Для доказательства аналогичного свойства для р2 заметим, что |у/с <
12, т. е. (|у/с, |с) £ Р2 лежит левее (/2, |с) £ Г£. А поскольку ^ = ОО >

—у/с и точка (|Ус, 0) € /2 лежит левее (е,0) 6 Г£, а Г£ выпукла вверх на интервале |у/с < I ^ ^у/с, тор2 попадет в область Ф(Г£) на вышеуказанном интервале.
10а. Г£ пересекается с прямой р в точках А и В, при этом в точке А:
— > -чР. По аналогии со свойством 10, отсюда следует включе-

2ж 1=
ние: рх £ Ф(Г£), 0 ^ I ^ —
Аналогично, %

= оо > — //-2) ■ Кривая Г£ пересекается с прямой

Р2 в двух точках В и С, и на этом промежутке выпукла вверх, поэтому Р2еФ(Т£),2-^^1^у/Гс.
3. Мера Хаусдорфа на (Я2п+1,р).
3.1. Левоинвариантные меры на Н2П+
Пусть А' С Н-2п+1 — Г12п+1 некоторое множество. Рассмотрим всевозможные покрытия Т>${X) множества X счетными семействами {Ы6}а С В/А) :