Особенности интегрируемых гамильтоновых систем

• Автор: Калашников, Вячеслав Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Содержание
1 Введение

2 Основные определения
3 О топологической структуре интегрируемых гамильтоновых систем, близких к данной
4 Вырожденные окружности общего вида
5 Теоремы об глобальной устойчивости топологической структуры
6 Построение канонических координат в окрестности особой точки интегрируемой гамильтоновой системы
7 Простые гиперболические особенности пуассоновых действий
8 Комбинаторный комплекс Г
9 Алгебраическое задание комплексов Г
1 Введение
При изучении топологии интегрируемых гамильтоновых систем одним из основных инструментов является исследование особенностей, возникающих у рассматриваемой системы. Данная работа посвящена изучению общих свойств особых траекторий и точек интегрируемых гамильтоновых систем.
В этой работе нас будут интересовать два естественных класса возмущений. Первый класс возмущений - это когда возмущается и гамильтониан и дополнительный интеграл, при условии, что возмущенный интеграл является интегралом возмущенной системы. Этот класс возмущений называется возмущениями в сильной метрике. Можно сказать, что возмущения в сильной метрике, это фактически возмущения пуассонова действия.
Второй класс возмущений, это возмущения, которые затрагивают только гамильтониан, при условии, что возмущенная система является интегрируемой. Близость интеграла возмущенной системы и интеграла исходной системы не предусматривается. Такие возмущения называются возмущениями в слабой метрике. Фактически, эти возмущения являются ограничениям обычного понятия возмущения системы на множество гамильтонианов, допускающих дополнительный независимый интеграл.
Работа состоит из нескольких частей. В первой части изучается поведение топологической структуры при возмущении в слабой метрике. Основной результат этой части состоит в том, что несмотря на то, что интегрируемые гамильтоновы системы при возмущении в слабой метрике не являются структурно устойчивыми ни в каком смысле, тем не менее, топологическая структура возмущенной системы "цомнит" топологическую структуру исходной системы, являясь в некотором смысле усложнением последней. Кроме того, в этой части приведен пример возмущения, возникновения при котором возникает замкнутая траектория с отрицательными мультипликаторами.
Конкретные примеры интегрируемых гамильтоновых систем показывают, что при изменении значения гамильтониана, топологическая структура системы на изоэнергетической поверхности фл может меняться. Это изменение связано с появлением, видоизменением сингулярных слоев слоения Лиувилля и происходит "скачком" на уровне

энергии, который может и не быть критическим, а содержать, например, вырожденную окружность. Учитывая топологическую устойчивость невырожденных окружностей, мы приходим к выводу, что вырожденные окружности нельзя убрать малым шевелением системы со всего симплектического многообразия.
Вопрос об изучении неботтовских (вырожденных) особенностей был поднят А.Т. Фоменко и B.C. Матвеевым в [9], где было дано определение ручного интеграла и ручных особенностей. Основной результат, полученный для ручных систем заключался в том, что класс изоэнергетических многообразий интегрируемых гамильтоновых систем не расширяется при замене невырожденных интегралов на более широкий класс ручных интегралов. Вопрос о вырожденных окружностях по-видимому впервые в явном виде затрагивался в [17] А.В.Болсиновым, а в [11] O.E. Орел была получена топологическая классификация, систем в окрестности минимаксной вырожденной окружности.
Мы же поставим этот вопрос несколько иначе. Мы будем изучать топологически устойчивые вырожденные окружности, которые не исчезают при малом возмущении гамильтониана и интеграла, и топология системы в их окрестности не меняется при этом возмущении. В [8] Лерман Л.М. и Уманский Я.Л. предъявили один тип топологически устойчивой вырожденной окружности. Мы предъявим бесконечную серию таких окружностей, изучим топологию систем в их окрестности, докажем их топологическую устойчивость и при дополнительном условии покажем, что остальные вырожденные особенности устранимы.
Вырожденные окружности общего вида тесным образом связаны с семействами общего положения эквивариантных функций от двух переменных, где инвариантность естественным образом возникает в связи с приведением первых членов системы к нормальной форме Бирк-гофа.
В качестве приложения полученных результатов, а также результатов об устойчивости невырожденных особенностей мы сформулируем теорему об устойчивости топологической структуры на симплектиче-ском многообразии. При условии, что все вырожденные окружности общего вида, а также если интегрируемая система удовлетворяет условию, аналогичному условию простоты для функций Морса, то при до-

значениях параметра Р, функция к строго выпукла вниз и достигает минимума в точках г = 0.
Рассмотрим функцию к(х,у,0. Пусть Г — непустая линия уровня этой функции, отличная от одной точки. Тогда малая окрестность II(Г) содержит замкнутую линию уровня Гр функции к{х,у,Г) для достаточно малого положительного значения Р. Кривая Гр ограничивает линии уровня функции к(х,у,Г), лежащие внутри нее. Исследуем особые точки функции к(х, у, К) при малых К > 0, г > 0. В этих точках к'г = 0 и к'ф = 0. Из (16) имеем
—— = 2РС1(Р)г + 4С2(Р)г3 + {члены степени > 4} = 0. (18)

Так как г > 0, это влечет
2РСд(Р) + 4С2(Р)г2 + {члены степени > 3} = 0. (19)
Следовательно, при малых г корень единственен при фиксированном значении ф. Точки, где первая производная к по г равна нулю является замкнутой кривой Бр, обходящей вокруг нуля. В этих точках вторая производная к по г строго положительна.
Исследуем точки, где производная к по ф равна нулю. Из (16) име-
ем дк
— = -пС(Р)гп8т(пф + 0(2?)) + о{гп)
Отсюда,
пф + т=
Это уравнение определяет п кривых, проходящих через начало коор-

динат. На этих кривых знаки чередуются. Особые точки функции к лежат на пересечении этих кривых и кривой 5'/,' (см. рис. 5). Все эти. точки невырождены, и их сигнатуры чередуются при обходе вдоль Зр. Заметим, что седловые особые точки функции к(р, д, Р) при фиксированном значении Р— это точки пересечения одной седловой окружности и площадки Т = 0. Поэтому, значение к в этих точках совпадает. Аналогично, значение к в точках минимума тоже совпадает.