Проблема комбинаторного вычисления рациональных классов Понтрягина

• Автор: Гайфуллин, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 341 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Универсальные локальные формулы для характеристических классов триангулированных многообразий

1.1 Дифференциальное градуированное кольцо ориентированных комбинаторных сфер

1.2 Универсальные локальные формулы

1.3 Существование алгоритмов для вычисления локальных формул

1.4 Кобордизмы многообразий с особенностями

1.5 Локальные формулы для коциклов

2 Явная формула для первого класса Понтрягина

2.1 Бизвездные преобразования, графы Гп и бикомплекс С*'*

2.2 Циклы в графе Г

2.3 Алгоритм нахождения представления цикла в графе Г2 в
виде линейной комбинации элементарных циклов
2.4 Формула
2.5 Строение группы N

2.6 Знаменатели коэффициентов универсальных локальных
формул
3 Формулы для классов Понтрягина расслоений в терминах триангуляций их тотальных пространств
3.1 Простые клетки и многообразия с углами
3.2 Разбиения на простые клетки и многообразия с углами . . .
3.3 Необходимые сведения о блочных расслоениях
3.4 Формулы для классов Понтрягина блочных расслоений . . .
3.5 Совпадение понятий 'Вдвс- и Рмс~структур
3.6 Операции над Р-структурами
3.7 Доказательство предложения 3.6.
3.8 Построение отображения базы, транссимплициального к триангуляции тотального пространства блочного расслоения
3.9 Гомоморфизм X : 1{Р) —» Р(Р)
3.10 Рациональные классы Понтрягина разбиений на простые клетки
3.11 Классифицирующее пространство Z
3.12 Некоторые открытые вопросы
4 Задача о построении триангулированного многообразия с заданным набором линков вершин
4.1 Постановки задач и основные результаты
4.2 Конструкция Пеццана-Ферри
4.3 Построение по графам псевдомногообразий, склеенных из простых многогранников

4.4 Переход к большим кубам
4.5 Конструкция псевдомногообразия
4.6 Конструкция псевдомногообразия К
4.7 Локальные формулы для Ь-классов Хирцебруха
5 Комбинаторный подход к проблеме Стинрода о реализации циклов
5.1 Реализация циклов и разрешение особенностей
5.2 Разрешение особенностей псевдомногообразия
5.3 Доказательство предложения 5.2.
5.4 Класс бордизмов реализующего многообразия
5.5 Малые накрытия
5.6 Многообразие изоспектральных трёхдиагональных матриц .
5.7 Накрытия над многообразиями Мп(Рп)
5.8 Построение многообразия Мп
5.9 Отображение пермутоэдра на симплекс
5.10 Построение отображения / : Мп -» Zn
А Комплексы из простых многогранников
В Вычисления при помощи явной комбинаторной формулы для первого класса Понтрягина
С Представления т-значных групп на триангуляциях многообразий
Литература

той же размерности. (Пространство называется асферическим, если оно имеет тип К(7Г, 1) для некоторой группы 7г.) Из конструкции Дэвиса-Янушкевича сразу следует, что в качестве максимального класса многообразий в смысле отношения доминирования можно взять класс всех асферических многообразий. Однако этот класс слишком обширен и естественно представляет интерес задача о его уменьшении.
В центре нашей конструкции находится многообразие Мп изоспек-тральных вещественных симметрических трёхдиагональных (п+1) х (п+1) матриц, то есть многообразие вещественных симметрических трёхдиагональных матриц с фиксированным простым спектром А1 > А2 > ... > Ап+1. (Матрица А = (а^) называется трёхдиагоналъной, если ац — 0 при |г — ф > 1.) Многообразие Мп возникает в теории интегрируемых систем при изучении цепочки Тоды (см. [110], [26]). Топологические свойства многообразия Мп были первоначально изучены К.Томеи [128]. Им было построено клеточное разбиение многообразия Мп и, опираясь на результаты М.Дэвиса [71], доказана его асферичность. К.Томеи также доказал, что класс диффеоморфизма многообразия Мп не зависит от чисел Ах, А2,..., Ага+х.
В настоящей работе мы доказываем, что в качестве максимального класса п-мерных многообразий в смысле отношения доминирования или, что то же самое, в качестве набора М.п многообразий, достаточных для реализации всех п-мерных классов гомологий, можно взять набор всевозможных конечнолистных накрытий над многообразием Мп. Для любого класса гомологий 2: 6 Нп{ХЩ мы выбираем реализующее его сингулярное ориентированное псевдомногообразие К : Zn —X, после чего строим