Некоторые комбинаторные вопросы спектральной теории узлов

• Автор: Турчин, Виктор Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с. : ил.

Оглавление
0. Введение
Глава I. Введение в спектральную теорию узлов
1. Пространства узлов
2. Симплициальное разрешение дискриминанта
3. Основная фильтрация в разрешенном дискриминанте; ассоциированная с ней спектральная последовательность
4. Теорема Концевича о реализации и гипотеза Васильева
5. Комплексы связных и двусвязных графов; пространство Тм
6. Л-блоки и комплексы связных графов
7. Вспомогательная фильтрация в члене <тДсг*_1 основной фильтрации
8. Клеточное разбиение в сгДсг*-1- Ориентация клеток
9. Нулевой дифференциал основной спектральной последовательности
Глава II. Различные способы вычисления первого члена основной (=вто-
рого члена вспомогательной) спектральной последовательности
10. Другая реализация гомологий комплексов связных графов; пространство
11. Первый член вспомогательной спектральной последовательности
12. Дифференциал <1 вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы диаграмм и стар-диаграмм деревьев СТВшеуеп сТ*ОоМ(-еьеп)
13. Комплексы обобщенных Т-диаграмм и обобщенных Г*-диаграмм
14. Упрощение вычислений с помощью введения дополнительной фильтрации в первом члене вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы СТ0ВШ, СТ0Г>*,еп
15. Некоторые производящие функции
16. Когомологии комплексов связных графов и свободная (супер)алгебра Ли; пространства Вм,
17. Первый член двойственной вспомогательной спектральной последовательности
18. Отображения склейки и двойственные им отображения расклейки
19. Дифференциал д двойственной вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы скобочных диаграмм и стар-диаграмм сВВшеуеп СВ*ВоМ{-еуеп~>
20. Скобка Пуассона (Схоутена) и дифференциал комплексов С£Ш°‘(ег'еп СВ*ВоМ(еуеп)
21. Упрощение вычислений с помощью введения дополнительной фильтрации в первом члене двойственной вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы СВ0ВШ, СВ0Веуеп
Глава III. Двадцать дифференциальных алгебр Хопфа, связанных с дискриминантами пространств некомпактных узлов
22. Об алгебрах Хопфа
23. О дифференциальных алгебрах Хопфа
24. Шесть дифференциальных алгебр Хопфа ВЛАВ*ВоМ, ВЛАВ*Веуеп, ВЛАВ0ВШ, ОЛАВ0ВеУеп, ВЛАВВШ, ВЛАВВеуеп скобочных (стар/ноль)-диаграмм
25. Шесть дифференциальных алгебр Хопфа ВЯАТ*В0<1<1, ПЛАТОВ™*71, ВЛАТВШ, ВЛАТоВеуеп, ВЛАТВШ, ВЛАТВеуеп (стар/ноль)- диаграмм деревьев
26. Восемь дифференциальных алгебр Хопфа, определенных нулевым членом основной спектральной последовательности

27. Гипотезы об умножении и коумножении в (ко)гомологиях пространств некомпактных узлов
28. Суперкоммутативность биалгебры гомологий пространств некомпактных узлов
29. Суперкоммутативность алгебры (Хопфа) гомологий ВНАВВш{-еуепк)
30. Суперкоммутативность алгебры (Хопфа) гомологий НАВ*Веуеп(к) относительно частичного дифференциала д — дргзл
31. Несуперкоммутативность алгебры (Хопфа) гомологий НА В*.(к) относительно частичного дифференциала д — драял
32. Суперкоммутативность алгебры (Хопфа) гомологий ВНАВ*Веуеп (к)
33. Вычисление гомологий ВНАВВш(еуепЪ) при сложности г <
34. Вычисление гомологий ВНАВ0Вш(-еуеп) (Ё) при сложности г <
35. Алгебра (Хопфа) гомологий Н АВ*Вш1<еуеп'> (к) относительно частичного дифференциала д = дразл
36. Соответствие между алгебрами Хопфа гомологий ВНАВВшеуеп<) и ВНАВ*Вш{-еуеп<$)
37. Биалгебры хордовых (супер)диаграмм
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

0. Введение
0.1. История предмета
Топологическое изучение дискриминантов, то есть особых геометрических объектов было начато В.И.Арнольдом в конце 60-х годов, см. [Арнольд2]. Оно тесно связано с изучением дополнительных пространств к этим объектам. Позднее это привело к возникновению новой области в математике - теории дискриминантов, основным инициатором развития которой был В.А.Васильев, см. [Васильев, V5].
Основным инструментов в вычислении групп гомологий таких объектов являются симплициальные (или, в более общем случае, конические) разрешения дискриминантных пространств.
В данной работе я изучаю симплициальное разрешение о (построенное В.А.Васильевым, см. [VI]) дискриминанта для пространств некомпактных узлов в Rn, п > 3. Некомпактными узлами называются неособые вложения К1 Rn, совпадающие с некоторым фиксированным линейным вложением вне некоторого компактного подмножества в R1.
В а имеется естественная фильтрация
0 = сг0 С ох С а2 С ... (0.1)
М.Концевич доказал, что спектральная последовательность (Васильева), ассоциированная с этой фильтрацией и считающая гомологии Бореля - Мура (= гомологии одноточечной компактификации, приведенные относительно точки) разрешения а (которые по двойственности Александера - Понтрягина изоморфны когомологиям пространства узлов) вырождается над Q в первом члене. С другой стороны, в членах фильтрации имеется простое клеточное разбиение (зависящее с точностью до сдвига в размерности только от четности п объемлющего пространства Кп), которое делает вычисление первого члена спектральной последовательности Васильева геометрически тривиальным.
По ряду причин В.А.Васильев предположил, см. Гипотеза 4.1, что фильтрация (0.1) гомотопически расщепляется. Из чего должно следовать вырождение нашей основной спектральной последовательности в первом члене для любого коммутативного кольца (абелевой труппы) коэффициентов. Исходя из этого предположения основной алгебраической задачей вычисления когомологий пространств некомпактных узлов в Rn, п > 4 (при п = 3 изучаемая спектральная последовательность считает лишь некоторую подгруппу в когомологиях пространства узлов), становится вычисление первого члена, различным способам нахождения которого и посвящена моя работа.
Для вычисления первого члена этой спектральной последовательности В.А.Васильев ввел вспомогательную фильтрацию на членах (тДсг,-_1. Получающаяся вспомогательная спектральная последовательность, ассоциированная с этой фильтрацией и считающая гомологии относительно нулевого дифференциала основной спектральной последовательности, вырождается во втором члене, так как ее первый член (для каждого г) сосредоточен в одной строке. Нулевой член вспомогательной спектральной последовательности вместе с нулевым дифференциалом на нем есть прямая сумма тензорных произведений комплексов связных графов. Гомологии комплексов связных графов сосредоточены в одной размерности и образуют свободный Z-модуль. Они имеют простое описание как пространство, порожденное деревьями, и профакторизованное по трехчленным соотношениям. Комплексы связных графов возникают в симплициаль-ных разрешениях многих аналогичных дискриминантов.

5*-диаграммами (скобочными стар-диаграммами) и 5-диаграммами (скобочными диаграммами) соответственно.
Пример 17.4. Для (А, -конфигурации, изображенной на рис. 17.2 можно взять диаграмму
[х1ХХ1*хи] Л [азд5.] Л хг6 Л хц. □
Пример 17.5. При четном п диаграммы соответствующие примеру 17.3 будем называть хордовыми супер диаграммами. Для их ориентации уже будет иметь значение и ориентация ребер (так как [х, ж*2] = — [т4г, т]), и их упорядочивание. □
Опять же получаем, что первый член двойственной вспомогательной спектральной последовательности описывается пространством скобочных стар-диаграмм.
18. Отображения склейки и двойственные им отображения расклейки
Пусть М- и М+ - два (конечных) множества, пересекающиеся по одной точке. Пусть эта точка называется соответственно £_, £+, £0 в множествах М_, М+ и Мо = М- иМ+. Имеем естественные вложения:
(18-1)
• (18.2)
Отображения г+, на образующих - на парах деревьев есть просто их объединение (склейка). В случае (18.2) перенумерация ребер получившегося дерева получается последовательной перенумерацией ребер первого, а затем второго деревьев.
Пусть М - (конечное) множество, имеющее > 2 точек. М* - множество, получающееся склейкой двух точек t-,t+ € М в одну - £д- Имеем проекции:
р+:Т+->Т+; (18.3)
Р 'ТыТМщ. (18-4)
р+,р~ переводят в ноль деревья, не имеющие ребра (£_,£+). Отображение р+ деревья, имеющие это ребро, переводит в деревья, получающиеся склейкой точек £_ и £+
и удалением этого ребра; если ребро (£_,£+) было ориентировано от £+ к £_, то дополнительно нужно результирующее дерево умножить на -1. Отображение р~ также удаляет ребро (£_,£+), а затем склеивает полученные два дерева, отображая точки £_ и £+ в Ц; результирующее дерево умножается на (—I)*“1, где к - номер ребра (£-,£+) в перенумерации ребер исходного дерева.
Отображения г+,р+ (соотв. г”,р”) фактически определяли первый дифференциал во вспомогательной спектральной последовательности при четном (соотв. нечетном) п.
Для того, чтобы понять, как выглядит первый дифференциал в двойственном (гомологическом) случае, необходимо изучить отображения р+, р_, г+, г_ двойственные соответственно отображениям г+, г”, р+, р~.
(18-5)
р-: вмо -* вм- ® в«+; (18-6)
ч.: -4 В+; (18.7)
»- : (18.8)