Гладкие многообразия над локальными алгебрами и их применение в дифференциальной геометрии высшего порядка

• Автор: Шурыгин, Вадим Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 246 с.

Содержание
Введение
Глава 1 Гладкие многообразия над локальными алгебрами
§ 1.1. Категория многообразий над алгебрами
§ 1.2. Подмногообразия, порождаемые инвариантными подмодулями
§ 1.3. Локальные алгебры в смысле А. Вейл я и гладкие
функции над локальными алгебрами
§ 1.4. Расслоение А-струй А.Вейл я
§ 1.5. Функтор А.Вейля на категории многообразий над
алгебрами
§1.6. Расслоения неголономных струй Эресмана как многообразия над локальными алгебрами
§ 1.7. Трансверсальный функтор А. Вейл я на категории
слоеных многообразий
Глава 2 Геометрия расслоения А-струй А.Вейля
§ 2.1. Структурные группы расслоения А-струй
§ 2.2. А-аффинная связность на многообразии
§ 2.3. Лифты полей геометрических объектов и А-гладкие поля геометрических объектов на расслоении А-
струй
§ 2.4. Объект кручения связности в расслоении реперов

§2.5. Связности высших порядков на многообразии
§ 2.6. Связности высших порядков на римановых многообразиях

Глава 3 Специальные классы многообразий над локальными алгебрами
§ 3.1. Канонические слоения и канонические соприкасающиеся расслоения п-мерного многообразия над
локальной алгеброй
§ 3.2. Представления голономии Л-гладкого многообразия М„А

§ 3.3. Радиантные А”-многообразия
§ 3.4. Радиантные A-гладкие многообразия

§ 3.5. Препятствие к радиантности А”-многообразия .162 § 3.6. Препятствия к радиантности A-гладкого многообразия, моделируемого A-модулем А"
§ 3.7. Трансверсально радиантные структуры по отношению к каноническому Е-слоению
Глава 4 Когомологии многообразий над локальными алгебрами
§ 4.1. Комплекс де Рама A-гладких форм на МА
§ 4.2. Биградуированные когомологии многообразия МА . 190 § 4.3. Резольвенты пучков A-гладких форм со значениями в фактор-алгебрах и идеалах
§ 4.4. Когомологии с коэффициентами в пучках ростков
сечений расслоений на A-модули и их применение . 201 § 4.5. A-гладкие связности и классы Атьи-Молино
Список литературы
Список работ автора по теме диссертации

Введение
Теория гладких многообразий над локальными алгебрами принадлежит области геометрии и топологии многообразий, несущих интегрируемые полиаффинорные структуры, определяемые ассоциативными коммутативными алгебрами. Эта область исследований тесно связана с геометрией расслоений струй и теорией дифференциально-геометрических объектов, геометрией и топологией слоений.
Актуальность темы. Среди многообразий над алгебрами наиболее изученными являются комплексные аналитические многообразия. Их геометрии и топологии, а также геометрии и топологии почти комплексных многообразий, посвящено большое количество работ, из которых следует отметить труды П.А.Широкова [98], монографии К.Яно [204], А.Вейля [19], Чжэнь Шэн-шэня [86], Р.Уэллса [81], К.Кодаиры [150]. Теория комплексных многообразий находит многочисленные приложения в задачах математической физики. Укажем, например, работы А.П.Нордена [59], Р.Уэллса [199], В.Р.Кайгородова [39], Ю.И.Манина [54], А.В.Аминовой и Д.А.Калинина [99]. Другие двумерные алгебры, алгебры двойных и дуальных чисел, использовались в геометрических исследованиях Э.Штуди [189], А.П.Котельниковым [43]. Неевклидовы пространства над этими алгебрами изучались Б.А.Розенфель-дом [76]. Дифференциальной геометрии многообразий над алгебрами размерности два, их приложениям к линейчатой геометрии посвящены работы П.К.Рашевского [73], А.П.Нордена [58], [60].
Исходным пунктом для развития дифференциальной геометрии пространств над ассоциативными коммутативными алгебрами общего вида явилась теория аналитических функций гипер-комплексного переменного, разработанная в трудах Г.Шефферса

2) Набор (A/Ann( Доказательство. Для доказательства первого утверждения заметим, что Е_1(а((тХ)) = Е~1(сг(о:А')) = аХ + ker(-a) = (а + Ann(cr))(X + кег(-сг)) при любых а е А, X 6 L, поэтому отображение (1.2.1) можно рассматривать как изоморфизм А/Апп(<т)-модулей. Для доказательства второго утверждения нужно показать А/Апп(сг)-линейность касательного отображения к отображению ha: о hj/ в точке hgi(x) для х G Ua> П Up. Имеем:
где в последнем выражении отождествлено Е = (Я)Е. □
Утверждения настоящего параграфа могут рассматриваться как обобщение результатов В.В.Вишневского [21] о структуре многообразий над прямыми суммами алгебр.
§ 1.3. Локальные алгебры в смысле А.Вейля и гладкие функции над локальными алгебрами
Приведем сначала основные определения и сведения, касающиеся локальных алгебр.
Унитальная алгебра А € А называется локальной, если ее ради-

кал 11ас1(А) =А (подмножество нильпотентных элементов) явля-

ется максимальным идеалом и факторалгебра А/А изоморфна алгебре М вещественных чисел. Одномерное линейное подпространство в А, натянутое на единицу 1&, образует подалгебру изоморфную М. Эту подалгебру будем отождествлять с М, считая, что КсАи1д = 1б1К. При этом локальная алгебра А представляется в виде полупрямой суммы
А = К ® А. (1.3.1)