Геометрические симметрии дифференциальных уравнений типа Янга-Миллса

• Автор: Золотухина, Светлана Григорьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

Содержание
Введение
1. Ортогональные и калибровочные инварианты тензора кривизны
1.1. Дифференциальные уравнения типа Янга-Миллса
1.2. Общие свойства инвариантов
1.3. Общий вид ортогональных и калибровочных инвариантов тензора кривизны
1.4. Построение конечного полиномиального базиса инвариантов тензора кривизны
1.5. Минимальный полиномиальный базис ортогональных и калибровочных инвариантов
2. Геометрические симметрии полиномиальных уравнений типа Янга-Миллса
2.1. Основные определения
2.2. Уравнения Эйлера-Лагранжа для функционалов типа Янга-Миллса
2.3. Алгебры инвариантности полиномиальных уравнений типа Янга-Миллса
2.3.1. Случай степени
2.3.2. Случай степени
2.3.3. Случай степени
2.3.4. Основная теорема
3. Симметрии не полиномиальных уравнений типа Янга-Миллса
3.1. Алгебра инвариантности обобщенного уравнения Борна-
Инфельда

СОДЕРЖАНИЕ
3.2. Условные симметриии обобщенного уравнения Борна-Инфельда
3.3. Алгебра инвариантности уравнений движения лагранжиана, являющегося линейной комбинацией (ЛА)2 и А3
Литература

Введение
Работа посвящена изучению геометрических симметрий уравнений Эйлера-Лагранжа для функционалов калибровочных полей, заданных в главном 1??7(2)-расслоении над четырехмерным многообразием М с евклидовой или псевдоевклидовой метрикой. Решаются две основные задачи: построение ортогональных и калибровочных инвариантов тензора кривизны в данном расслоении и нахождение максимальных алгебр инвариантности уравнений движения для лагранжианов, построенных с помощью полученных инвариантов.
Истоки теории калибровочных полей восходят к работе Г. Вейля „Gravitation und Elektrizität“, опубликованной в 1918 г. и посвященной объединению электромагнитного и гравитационного взаимодействий. В подходе Вейля параллельный перенос касательного вектора к пространству Минковского М приводит к изменению не только его направления, как в теории Эйнштейна, но и длины. На современном языке это означает переход от римановой связности в расслоении ор-тонормированных риперов над М к связности в главном расслоении со структурной группой 17(1). Коэффициенты соответствующей формы связности А были отождествлены Вейлем с потенциалами электромагнитного поля, а коэффициенты формы кривизны F = dA с напряженностями этого поля. Кроме того, Вейль показал, что полученная таким образом теория инвариантна относительно послойных преобразований касательного расслоения Т(М), названных им калибровочными преобразованиями.
В 1954 г. американские физики Ч. Янг и Р. Миллс, изучая сильные взаимодействия нуклонов, рассмотрели вместо U(1)-рассдоения векторное расслоение над М со структурной группой SU(2). Наличие калибровочной инвариантности приводит в их теории, подобно теории Вейля, к существованию векторного поля, которое переносит сильное взаимодействие. Развитие идей Янга и Миллса позволило создать в конце 60-х годов единую теорию электромагнитного и слабого взаи-

ГЛАВА 2. СИММЕТРИИИ УРАВНЕНИЙ ТИПА ЯНГА-МИЛЛСА
Выпишем соответствующие формулы продолжения ДЛЯ (р%а , (/>

аа ’ 'У аа'
Таа = dß(paa + dßAbß - даАаа да - dßAbß даАа§г, Vaa — dßdrVaa + dßAߣffir + dTAbß-~r + dTAbß dßAcy-~jß + +dßdTAbßдЩ - д,дт даАаа - д,ЛАаа дте - дтдаА% dße~ —dAß даА%ощ — dTAhß дсАщщ — dTAbß даАаа dßA ~ drAbß даАааЩ - dßdaAaa дтАьрЩ--дтдаА°а дАрЩ.
Для того, чтобы v £ А, необходимо и достаточно, чтобы продолжение рг[Ааи] |д = 0, для всех а = 1, 2, 3, v — 0
prv[Aav] = Qt Abß, где Qt = Q*(x, A<2>). (2.1)
2.2. Уравнения Эйлера—Лагранжа для функционалов типа Янга-Миллса
Функционалы типа Янга-Миллса имеют вид
S[Aa] = J L{Faß)dx
Уравнения Эйлера-Лагранжа для таких функционалов представляют собой систему из 12 дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, следующего вида
dßd{dßA“) ~дА*=0, = 1,2,3; гу = 0
Так как лагранжианы этих функционалов зависят только от компонент тензора кривизны Faß, то уравнения (2.2) можно переписать следующим образом
[ 8L BFZ,, __ BL_dF%
4ea(Ms)j BFdAt' “ ’’’
Проведем следующие вычисления:
Qja ~ е£аЪсАСа5% - ееаъсАСр8®