О предельных множествах отображений графов

• Автор: Редкозубов, Вадим Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 с. : ил.

Список основных обозначений

Глава 1. Инвариант типа периода общей точки

1.1 Основные понятия и необходимые леммы

1.2 Л-функция как аналог периода общей точки

1.3 Л-функция точки и декомпозиционный идеал транзитивного

отображения

Глава 2. Комбинаторика предельных множеств

* 2.1 «Спектральная» теорема Блоха и следствия из нее

2.2 Множество Л-функций отображений графов

2.3 Комбинаторика предельных множеств. Случай п-ода и окружности

Глава 3. Топология предельных множеств

3.1 Асимптотический образ множества неблуждающих точек
3.2 Топология предельных множеств окружности
Список литературы

Список основных обозначений
Z+ — множество целых неотрицательных чисел
(т, п) — наибольший общий делитель чисел тип
дА — граница множества А
А — замыкание множества А
/" — п-я итерация отображения
огЬ(х, /) —- орбита точки х
ш(х, /) — ^-предельное множество точки X
ш(/) — множество предельных точек всех орбит отображения / (с. 16)
Р(/) — множество периодических точек отображения
П(/) — множество периодов периодических точек отображения
/х — Л-функция точки х (с. 18)
Л/(/) — декомпозиционный идеал транзитивного отображения / (с.24)
В(М, /) (С(М, /)) — базисное (окружностное) множество (с.28) /А 7 — отрезок / накрывает отрезок
Представленная работа относится к топологической динамике. Цель работы — исследовать топологические и комбинаторные свойства предельных множеств одномерных динамических систем.
1. Основы топологической динамики были заложены А. Пуанкаре в конце XIX века, предложившим качественное описание решений дифференциальных уравнений, не допускающих аналитического решения.
Известно, что автономная система дифференциальных уравнений, удовлетворяющая условиям единственности и продолжаемости решений, определяет поток — однопараметрическую группу преобразований фазового пространства. Дж.Д. Биркгоф, развивая идеи Пуанкаре, заметил [1], что многие понятия и результаты теории автономных систем дифференциальных уравнений могут быть перенесены на потоки в абстрактных пространствах. Он ввел важное понятие минимального множества, классифицировал движения по форме их возвращения, заложив тем самым основы общей теории топологических систем. Эта теория была развита в работах М. Морса, В.Х. Гот-шалка, Г.А. Хедлунда, A.A. Маркова, В.В. Немыцкого.
Следуя современной терминологии, под динамической системой понимается «действие группы (полугруппы) на каком-либо пространстве». Точнее, пусть X — топологическое пространство, Т — топологическая группа (полугруппа), я : X х Т —> X — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям (образ точки (х, t) при отображении я обозначим через я* (я)):
1) яе(х) = х, где х Е X, е — единица группы Т;
2) яЦяЦх)) = 7Tts(x), где X Е X, t, S ЕТ.
Тогда тройка (А, Т, я) называется топологической динамической системой. При этом X называется фазовым пространством, группа (полугруппа) Т — временем. Для точки х Е X определим множество огЪ{х) = {я*(ж) : t Е Т}, называемое орбитой или траекторией точки х (относительно системы (X, Т, я)).
Динамическая система (X, Т, я) называется дискретной, если Т — Ъ (Т = Ъ+). При этом если обозначить отображение я1 через /, то для любого n£Z( IX) выполнено яп(х) = /"(ж), где /" обозначает п-ю итерацию отображения / (в случае Т — I отображение / является гомеоморфизмом). И наоборот, всякий гомеоморфизм (непрерывное отображение) / по формуле яп(х) = fn(x) определяет действие группы (полугруппы) Т = Z (Т = Z+) на пространстве X. Таким образом, дискретная динамическая система пол-

В этом случае 51 является минимальным множеством с .О-функцией 1'. Если А = 51, т.е. отображения / и д совпадают, то /ц = 1/ и все доказано. Рассмотрим случай А ф 51. Тогда Е(ф) = Л как единственное предель-'ч ное множество. Так как сужение | А взаимнооднозначно за исключением
счетного числа, на которых оно двукратно, то /4 = 1' по теореме Р. □
Рассмотрим следующую задачу: для заданного числа £ из интервала вращения отображения / и функции в € Е доказать существование почти периодической точки с числом вращения, равным £, и Л-функцией, равной в. Частичный ответ на поставленный вопрос дает теорема 10.
Нам потребуются следующие два утверждения.
Предложение 8. [30] Если а(Е) < 0 < Ь(Р'), то отображение Р1 имеет подкову.
Из (5) и определения минимального множества вытекает
Лемма 13. Пусть степень отображения / равна 1 и множество М является ограниченным и минимальным для Е — поднятия /. Тогда проекция 7г взаимнооднозначна на М.
Для чисел а, Ь £ К и I £ Ми{оо}и{2°°} определим следующие множества. Положим
П(а, Ь) = {в £ Е : найдется такое п £ М(а, Ь), что выполнено в(п) = гг}.
{0, если а иррационально;
{в £ Е : найдется такая функция I £ J(l), что выполнено в(тп) = гг£(т) для всех т £ М}, если а = к/п и (к, п) = 1,
где .1(1) — отрезок порядка Шарковского Е Сян Дуна, начиная с I.
Теорема 10. Для отображения / : 51 —> 51 степени 1 найдутся такие числа а, Ь£Ш.са^Ьи1, геМи {сю} и {2°°}, что каждая функция из объединения БЕ(а, /)иД(а, Ь) и ЗЕ(Ь, г) является П-функцией некоторого минимального множества на окружности, все точки которого имеют одно рациональное число вращения.
Доказательство. Пусть [а, 6] — интервал вращения, определенный с помощью некоторого поднятия Р1 отображения /. Без ограничения общности будем предполагать, что отрезок [а, Ь] невырожден. Рассмотрим несократимую дробь к/п из [а, Ь]. Поднятие Ф = Р1" — к отображения /п имеет минимальное множество Мц — МДк/п, б) с П-функцией, равной 5, где
а) в — любая функция из Е, если дробь к/п лежит внутри [а, Ь];
б) я — любая функция из .1(1), если дробь к/п является концом [а, Ь], а символ I определяется как «старший период» в порядке Шарковского Е Сян Дуна для отображения Ф.