Геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий

• Автор: Левковец, Вадим Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с.

Глава 1. Почти контактные метрические структуры

§1. Почти контактные метрические структуры

§2. Структурные уравнения почти контактных метрических структур

§3. Нормальные структуры

Глава 2. Ь-и /с<55-структуры

§1.£ -структура и ее структурные уравнения

§2. Примеры Ь -структур

§3. Локально конформно квази-сасакиева структура и ее структурные

уравнения

§4. Вычисление некоторых классических тензоров 1сС}5 -многообразий в

Л-репере
§5. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны
§6. Геометрический смысл оператора Саь
Глава 3. Некоторые свойства локально конформно квази-сасакиевых
многообразий
§1. /с<2<5 -многообразия класса С2?,
§2. /сДО -многообразия класса СЯ2
§3. Контактная форма /сДО -многообразия
§4. /сДО -многообразия постоянной кривизны
§5. Интегрируемость /с<3 §6. Локально симметрические /с<25 -многообразия
Литература:

С появлением статей Дж. Грея [1,2], Бузби и Вана [3], посвященных контактным структурам на многообразиях, началось интенсивное исследование контактных и почти контактных структур на многообразиях. На 2я +1 - мерном многообразии М контактная структура задается 1-формой Г|, такой, что
г] л (а^пУ = т] л й?г| л — л с/г)

то есть г£Г( = <11тМ в каждой точке многообразия М. Многообразие М, снабженное контактной структурой, называется контактным многообразием. Понятия почти контактных структур и почти контактных метрических многообразий введены Дж. Греем [2] в 1959 году.
Обзор многочисленных исследований по почти контактным метрическим и контактным структурам приведен в [4] - [7]. Внимательному анализу подвергались специальные классы почти контактных метрических и контактных многообразий. Необходимо отметить, что нормальные почти контактные метрические структуры играют фундаментальную роль в контактной геометрии и являются контактным аналогом эрмитовых структур в эрмитовой геометрии. Достаточно сказать, что частными случаями нормальных структур являются са-сакиевы, то есть нормальные контактные метрические структуры, а также ко-симплектические структуры, изучению которых посвящено огромное количество работ. Нормальными являются также квази-сасакиевы структуры, являющиеся связующим звеном между сасакиевыми и косимплектическими структурами [8]. Отметим также интересную взаимосвязь между контактной геометрией нормальных структур и эрмитовой геометрией. Согласно классической теореме Накаямы [9] почти контактная метрическая структура нормальна тогда и только тогда, когда ее линейное расширение [10] является эрмитовой структурой.
Данная работа посвящена изучению интересного подкласса нормальных структур, а именно, подкласса нормальных почти контактных метрических

структур, метрика которых допускает локально конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру, в дальнейшем называемых локально конформно ква-зи-сасакиевыми структурами.
Выделим цели диссертационного исследования.
1. Получить структурные уравнения локально конформно квази-сасакиевых многообразий, изучить строение спектра тензора Римана-Кристоффеля в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной б -структуры.
2. Получить тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля локально конформно квази-сасакиевых многообразий и на их основе выделить и изучить наиболее интересные классы таких многообразий.
3. Получить необходимые и достаточные условия точечного постоянства Ф -голоморфной секционной кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий.
4. Выделить и изучить основные свойства локально конформно квази-сасакиевых структур. Получить полную классификацию локально конформно квази-сасакиевых многообразий.
Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении почти контактных метрических структур на многообразиях, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики. Кроме этого, они могут найти применение в качестве материала для специальных курсов по близкой тематике, например в Московском педагогическом государственном университете, в Казанском государственном университете.
Основные результаты докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Кириченко В.Ф.), на международной конфе-

где Х,У є Х(М) — произвольные векторные поля. Доказана
Теорема 1. Тензор Римана-Кристоффеля ІсС^Б -многообразия обладает дополнительным свойством симметрии, выраженным тождеством (2.6.5). ■
Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что система функций
|СсаЬ,СсаЬ = ~Сась| служит компонентам вещественного тензора
Є(Х,¥) = ^(уф1х (С) Ф2Т - V«* (С)Ф У).
Из (2.6.5) вытекает тождество
€{Х,У) = ^(Л(^,Ф2Х)Ф2У- Л(^,ФХ)Ф7), (2.6.6)
которое в известной мере определяет геометрический смысл тензора <£.