Операторы в гильбертовых модулях и их тополого-алгебраические приложения

• Автор: Павлов, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление
Введение
I Категорный подход к теории мультипликаторов и его применения
1 Операторные алгебры и гильбертовы модули над ними
2 Квазимультипликаторы как строго существенные расширения С*-алгебр
3 Алгебры левых мультипликаторов
4 Существенные и строго существенные идеалы
5 Теоремы Каспарова-Лина
II Функтор Ау на категории алгебр фон Неймана и его связь с операторной А'-теорией
6 Определение функтора Щ
7 Функциональное описание Л' групп
8 Группа Ао(А)цп
9 Нормированные полугруппы

10 Симметризации нормированных полугрупп
11 Структура нормированной группы на А?о(А)
III Обобщенный характер Чженя и ЛУ*-числа Лефшеца
12 Банаховы циклические гомологии
13 Обобщенный характер Чженя
14 Обобщенные числа Лефшеца
Литература

Введение
Настоящая работа посвящена изучению геометрии гильбертовых С*-модулей и различным вопросам тополого-алгебраического применения С*-модульных операторов.
Гильбертовы С*-модули являются естественным обобщением гильбертовых пространств, возникающем при замене поля скаляров С на С*-алгебру. Для коммутативных С*-алгебр такое обобщение было впервые описано в работе И. Капланского [22], однако общая теория гильбертовых С*-модулей возникла лишь 20 лет спустя в работах У. Пэ-шке [28] и М. Риффеля [30].
Следует отметить, что в настоящее время область применения теории гильбертовых модулей очень широка. Например, гильбертовы модули оказались очень удобным инструментом в теории операторных алгебр, позволяя изучать С*-алгебры, изучая гильбертовы модули над ними. Кроме того, гильбертовы модули служат аппаратом в целом ряде тополого-геометрических приложений, а именно, в теории индекса эллиптических операторов, в К-теории и в К К- теории Г. Г. Каспарова [2, 4, 6, 10, 24] и в общих вопросах некоммутативной геометрии [17]. Упомянем также о построении классифицирующих пространств в К-теории в терминах фредгольмовых операторов, причем возможность такого построения оказалась тесно связана с задачей о стягиваемости общей линейной группы гильбертова С*-модуля [9, 18].
Прежде чем переходить к подробному изложению настоящей диссертации по параграфам, дадим краткую характеристику основных ее результатов.
В работах Г. Г. Каспарова [24] и X. Лина [26] было дано описание всех основных операторных пространств, с которыми приходится

Л,й £ р(А)',Т £ ЬМ(н,с,к){А) имеем ТЯр(а) = Тр(а)Я = ЯТр(а). Следовательно, (ТЯ — ЯТ)р(А) = 0. Поэтому (ТЯ — ЯТ) € ХМ(я.с,тг)(-)5 где мы использовали обозначения леммы 3.1. Для завершения доказательства осталось отметить, ЧТО ЬМн,С,7г)(.) = 0 в силу предложения З.б. □
4 Существенные и строго существенные идеалы
На основании общего категорного подхода, который изложен выше, можно построить также теорию мультипликаторов С*-алгебр. Мы не будем останавливаться на подробном рассмотрении этого вопроса, т.к. основные результаты, которые здесь могут быть получены, являютя хорошо известными и их изложение можно найти, например, в [25]. Для нас важно отметить лишь следующее обстоятельство. Если формально применить общую схему рассуждений предыдущих параграфов для построения теории мультипликаторов С*-алгебр, то нетрудно убедиться, что понятие строго существенного идеала окажется в этом случае излишним. Кроме того, большинство построений значительно упростится. Причина этого заключается в том, что, как мы покажем в настоящем разделе, для С*-алгебр понятия существенности и строгой существенности идеалов совпадают. Однако, для более общих категорий банаховых алгебр или инволютивных банаховых простраистств подобное совпадение уже не имеет места.
Рассмотрим С*-алгебру В.
Лемма 4.1 Пусть С*-алгебра А является двусторонним идеалом в В. Положим В := {Ь 6 В : ЬА = О, АЪ = 0} и В := {Ь 6 В : ЬА = 0}.