Некоторые свойства вполне интегрируемых гамильтоновых систем

• Автор: Браилов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 c. : ил

- 2 -

§1. Введение

Глава ДГ. Построение вполне интегрируемых геодезических

потоков на сфере Як"1

§2. Уравнение Эйлера

§3. Построение -параметрического семейства

вполне интегрируемых геодезических потоков на

сфере 2Л'1

§4. Построение -параметрического семейства

вполне интегрируемых геодезических потоков на

сфере
§5. Построение геодезических потоков в терминах
гамильтоновой редукции
Глава 2Г. Исследование независимости интегралов некоторых уравнений Эйлера на полупростых
алгебрах Ли
§6. Интегрируемые уравнения Эйлера на полупростых
алгебрах Ли
§7. Вполне интегрируемость уравнений Эйлера
на сингулярных
полупростых орбитах
§8. Исследование независимости интегралов уравнения Х=СХ, ^ (К) л для сингулярных
операторов
§9. Исследование независимости интегралов уравнения X =. £Х 3 на максимальной компактной подалгебре, для сингулярных операторов
- 3 -
Глава III . Интегрируемые системы с некоммутирующими
интегралами
§10. Полная интегрируемость гамильтоновых систем в случае, когда не все интегралы попарно коммутируют §11. Вполне интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем, полностью интегрируемых с редуктивной алгеброй Ли интегралов
§12. Достаточные условия компактности алгебры Ли
интегралов гамильтоновой системы
§13. Построение вполне интегрируемых геодезических
потоков на симметрических пространствах
§14. Полная интегрируемость с некоммутирующими интегралами некоторых уравнений Эйлера на лолупрос-тых алгебрах Ли
Глава IV . Построение полностью интегрируемых систем на
нередуктивных алгебрах Ли
§15. Размножение интегрируемых аналогов уравнений Эйлера при помощи ассоциативной алгебры с двойственностью Пуанкаре
§16. Вполне интегрируемость некоторых гамильтоновых систем на Е(уъ )*
Литература

'ЮЗ

§1. Введение.
Настоящая диссертация посвящена построению новых примеров вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Идеи, на которых основаны предложенные в диссертации конструкции интегрируемых систем, появились и интенсивно развивались в течение последних пятнадцати лет. Перечислим основные идеи. Во-первых, необходимо отметить введенное В.И.Арнольдом ПО представление геодезических потоков на группах Ли в терминах уравнения Эйлера, общий факт гамильтоновости и связь уравнений Эшера с редукцией по группе симметрии, а также сам метод редукции гамильтоновых систем, в современном варианте принадлежащий Дж.Марсдену и А.Вейнстейну 1321 . Во- вторых, отметим способ получения интегралов в инволюции на орбитах путем сдвига инвариантов алгебры Ли на ковектор общего положения. Этот прием впервые был использован С.В.Манаковым [23] для получения коммутирующих интегралов уравнения Эйлера М -мерного твердого тела, а в более общем случае использовался А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко Г2 5] . В работе С.В.Манакова [2.3] , тесно связанной с предшествующими работами по интегрированию нелинейных уравнений методом обратной задачи рассеяния, уравнение Эйлера рассматривается как частный случай матричных аналогов стационарных уравнений Кортевега - де Фриза (уравнений Новикова, см. статью Б.А.Дубровина, В.Б.Матвеева и С.П.Новикова ). Важную роль как в стационарных,
так и в нестационарных задачах играет гамильтонов формализм.
В связи с этим, напомним, что уравнение Кортевега - де Фриза

отрицательных корней обозначается R _ . Определим также
множества корней:
а' = {<<« к : (2)
R'± = fi' n R± (3)
Леша 7.1. Найдется базис ß , такой, что
(R'+ + ё> ) п R с ß'+ (4)
Доказательство. Пусть Х - такое комплекное число, что для всякого корня оСЄ R1 вещественная часть fäe іїб&Х) ФО. Выберем базис ß так, чтобы для каждого корня и. є & вещественая часть fRe сі(гХ) £ о . Тогда в случае ß 6 £ V ) в имеем Reß> (ъ X) >03 ff?e ы. (ъХ)^ о и 4?е . Следовательно, если £ э
то ei+ji 6 ß;+ . Леша 7.1 доказана.
Нам необходим следующий результат:
Леша 7.2.(см. C^Ü ) Пусть Q- - комплексная
полупростая алгебра Ли, 1 - ее ранг, Н - подалгебра
Картаяа, ß - система корней, ß - базис R ; - элемент
из Н , такой, что , для любого o(f в
Положим £ гг . Пусть = У С ~ß ,
З'- £е4 + ЄІ + а) Тогда £Є+ ; G&j ^1 = ~2- £е+ j ^ 1 * і
причем ö&w. (Q- е+ = oLinsc - t