Приведение в общее положение отображений одномерных полиэдров в непрерывной зависимости от параметра

• Автор: Яблокова, Светлана Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 128 c. : ил

В настоящей работе рассматривается вопрос о приведении в общее положение отображений одномерных полиэдров в евклидово пространство в непрерывной зависимости от параметра.
В работе L 4 1 А.В.Чернавский привел формулировку новой модификации леммы о поглощении, которая использовалась для доказательства существования стягиваемых окрестностей в группе гомеоморфизмов произвольного топологического многообразия. Модификация леммы о поглощении заключалась в переформулировке этой леммы с введением произвольного непрерывного параметра.
Доказательство переформулированной леммы проводится по индукции, как и доказательство первоначального результата, полученного еще в работах Столлингса, Зимана и Хирша, но отличается от первоначального доказательства тем, что проведение элементарных шагов индукции проводится в непрерывной зависимости от параметра. Трудность заключается в приведении кусочно линейных отображений в общее положение в непрерывной зависимости от параметра, пробегающего сильно паракомпактное пространство. Уже в простейших случаях отображения отрезка в F?2 и в Р общее положение нарушается неустранимым малым шевелением образом. Однако, измельчая триангуляции полиэдра, можно добиться аппроксимации первоначальных отображений кусочно линейными с не более чем нульмерным нарушением общего положения.

Сама лемма о поглощении была получена Столлингсом СИ] ,

некоторые ее обобщения опубликованы в работе Зимана и Хирша Г*(Г). Вопросы, связанные с доказательством переформулированной леммы с введением непрерывного параметра, ранее не рассматривались.
Настоящая работа посвящена доказательству того, что измельчая триангуляции одномерного полиэдра, можно первоначальное отображение этого полиэдра в Р аппроксимировать кусочно линейным отображением с не более чем нульмерным нарушением общего положения, причем сделать это в непрерывной зависимости от параметра, пробегающего сильно паракомпактное пространство.

Работа состоит из трех глав. Перейдем к изложению основных результатов по главам.

Первая Глава IIосвящена вопросу аппроксимации непрерывного отображения §- одномерного полиэдра Р 1 в Р ^ над сильно паракомпактным пространством параметров полулинейным отображением. Строится нерв звездно конечного покрытия_прост-ранства параметров и по нему строится отображение »У , аппроксимирующее первоначальное отображение полиэдра Р в Р . Доказано /лемма I/, что аппроксимировать первоначальное отображение можно сколь угодно точно, если звездно конечное покрытие пространства параметров достаточно мелко. Далее, полученное отображение $£ аппроксимируется полулинейным отображением У , причем доказано /лемма 2/, что если триангуляции полиэдра Р достаточно мелкие, то эта аппроксимация может бить сделана сколь угодно точной. Эти результаты получены для произвольного полиэдра Р
Далее в работе рассматривается одномерный полиэдр Р Вводится определение непрерывной зависимости триангуляций одномерного полиэдра Р от параметра и доказывается /лемма 3/,
что одномерный полиэдр можно триангулировать так, что его триангуляции сколь угодно мелки и непрерывно зависят от параметра.
Вторая глава разбита на три параграфа. Первый параграф посвящен доказательству двух важных результатов о пространствах триангуляций одномерного симплекса, которые в дальнейшем используются для получения основного результата работы.
Первый результат /теорема I/ состоит в том, что пространство Л1 ^ триангуляций отрезка, имеющего не более, чем к внутренних точек разбиения, стягиваемо, если к - четно. В дальнейшем этот факт используется для продолжения триангуляций симплекса, имеющихся над границей некоторого множества, над внутренними точками множества.
Сформулируем второй результат этого параграфа.
Теорема 2. Пусть { - отображение 'С
ного диска Ъ* в пространство триангуляций сМ
причем
где .
Тогда найдется отображение ^ такое, что для некоторо го конечного /У
причем

выделить "диагональное" к -мерное подпространство Р
которое задается уравнениями Ь - ос - и , и отождествить
п ^ П к Г)2^ Г)^ г) к 0к
Кр=х=^ х к ^ С к , отбрасывая множество К Кр~х^К^
Аналогично, П]ЭИ подходе В симплексе А к вершине пространство Р2 отождествляем с 2 к -мерным "диагональным"
подпространством /?Р==**1? у = о. » отбрасывая оставшееся
множество ; при подходе к вершине Л
пространство Р над Ж * с М2 отождествляем с 2 к -мерк г к
ным "диагональным" подпространством Р к * Р _ _а 0тр«р*,ок р
брасывая множество К ' К р П а:
Над каждой внутренней точкой ребер симплекса А имеем пространство Р . При склеивании ребер симплекса А
3 к -мерные пространства также склеиваются. Над 6/г^ А2
над каждой точкой имеем пространство
При подходе к ребру ИЗ іпі А2 в пространстве три-^
ангуляций сМ вершина ос.' стремится к Ь ' , поэтому в Р
і к к
выделим "диагональное" ^ к -мерное подпространство Рь-алР(,
к ъзк Н *
х которое склеивается с Р над Л±Л^ » остальную
часть пространства Р над Л± Л 2 отбрасываем. При подходе к ребру Лі Л, из іґьІ А1 в пространстве триангуляг 4 к
ций вершина ос' стремится к у7 , поэтому в к выделим
"диагональное" 3 к -мерное подпространство [7* * Р „ ,
3 к
которое склеивается с Р над Л3 , множество
Р Р(5ХРа, у Ра над Л1Л3 отбрасываем.
У і