Применение дифференциальных инвариантов в классических двумерных геометриях

• Автор: Стрельцова, Ирина Станиславовна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Астрахань
• Количество страниц: 138 с.

Оглавление
Введение
0.1 Общая характеристика работы
0.1.1 Актуальность темы исследования
0.1.2 Цель работы
0.1.3 Основные задачи исследования
0.1.4 Научная новизна
0.1.5 Методы исследования
0.1.6 Теоретическое и прикладное значение
0.1.7 Апробация работы
0.1.8 Публикации автора по теме диссертации
0.1.9 Структура диссертации
0.2 Обзор содержания диссертации
1 Дифференциальные С-инварианты кривых
1.1 Многообразие Д(М)
1.2 Распределение Картана
1.3 Продолжение преобразований
1.4 Орбиты кривых
1.5 Дифференциальные инварианты кривых
1.5.1 Абсолютные дифференциальные инварианты
1.5.2 Относительные дифференциальные инварианты
1.5.3 Инвариантные дифференцирования

1.5.4 С-эквивалентность кривых
2 Классификация кривых на плоскости в классических геометриях
2.1 Кривые в геометрии Евклида
2.1.1 Дифференциальные инварианты
2.1.2 (?Е-эквивалентность кривых
2.2 Кривые в геометрии Минковского
2.2.1 Дифференциальные инварианты
2.2.2 См-эквивалентность кривых
2.3 Кривые в конформной геометрии Евклида
2.3.1 Ж-конформные преобразования плоскости Евклида
2.3.2 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов
2.3.3 Ж-конформая кривизна кривой на плоскости Евклида
2.3.4 Структура алгебры дифференциальных инвариантов
2.3.5 Кривые с постоянной М-конформной кривизной
2.3.6 СсЕ-эквивалентность кривых
2.4 Кривые в конформной геометрии Минковского
2.4.1 Ж-конформные преобразования плоскости Минковского
2.4.2 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов
2.4.3 Кривые с постоянной М-конформной кривизной
2.4.4 Структура алгебры дифференциальных инвариантов
2.4.5 С'см-эквивалентность кривых
2.5 Кривые в геометрии Лобачевского
2.5.1 Группа собственных движений плоскости Лобачевского
2.5.2 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов
2.5.3 Кривизна кривой на плоскости Лобачевского

2.5.4 Инвариантное дифференцирование и алгебра дифференциальных инвариантов
2.5.5 Эквивалентность кривых
2.6 Кривые в геометрии де Ситтера
2.6.1 Группа собственных движений плоскости де Ситтера
2.6.2 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов
2.6.3 Дифференцальные инварианты
2.6.4 Инвариантное дифференцирование и алгебра дифференциальных инвариантов
2.6.5 Кривые с постоянной кривизной де Ситтера
2.6.6 Структура алгебры скалярных дифференциальных инвариантов
2.6.7 Эквивалентность кривых
3 Дифференциальные С-инварианты слоений кривых
3.1 Пространство /г-джетов слоений кривых
3.2 Распределение Картана на (тг)
3.3 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов
3.4 Инвариантные дифференцирования
3.5 Дифференциальные уравнения конечного типа
3.6 Эквивалентность слоений
4 Слоения кривых на плоскости в классических геометриях
4.1 Слоения в геометрии Евклида
4.1.1 Алгебра Си-дифференциальных инвариантов
4.1.2 Св-эквивалентность слоений
4.2 Слоения в геометрии Минковекого
4.2.1 Алгебра См-дифференциальных инвариантов

для любого векторного поля X Є 0, то V = А- инвариантное дифферен-

цирование группы Ли С. Здесь рД00* — бесконечное продолжение векторного поля X.
1.5.4 6Дэквивалентность кривых
Опишем наш подход к проблеме б-эквивалентности кривых.
Итак, пусть С — транзитивная группа Ли на М и пусть 4 — первый нетривиальный дифференциальный С-инвариант. Пусть а — точка на кривой

Определение 20. Точку а будем называть С-регулярной, если дифференциал си(ф) не обращается в нуль в этой точке и (У-особой в противном случае.
Определение 21. Кривую в/, все точки которой Є-регулярны, будем называть (У-регулярной.
В случаях, если ясно о какой группе Ли идет речь, вместо термина “(У-регулярность” мы будем использовать слово “регулярность”.
Для регулярной кривой Sf функцию Пусть V — (У-инвариантное дифференцирование. Тогда У(У) — также дифференциальный инвариант. Для определенности будем считать, что его порядок равен к. Так как две функции от одного аргумента функционально зависимы, то ограничение дифференциального инварианта У(У) на кривую з/ можно представить в виде некоторой функции от параметра У(/):
(у(/))(/) = ф/(т(Я). (1.16)
Здесь индекс /, стоящий при функции Ф, означает, что эта функция — своя для каждой /.