Проблема изотопической реализации

• Автор: Мелихов, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с.

I. Дискретная реализуемость не влечёт изотопическую
II. Об отображениях дуг в К3
III. О ручных отображениях и модификациях определений
IV. Отображения в подпространство коразмерности к
V. О дискретной реализуемости
VI. Отображения 5П — 5П С К2п
VII. Общее отображение в метастабильном ранге
1. Отображения Бп —* К2”-*1 С К2п
1.1. Первое препятствие к изотопической реализуемости
1.2. Отображения в гиперплоскость
1.3. Немного вычислений
2. Доказательство теоремы
2.1. Отображения 5П —> 2.2. Нерасщепимость на бесконечности
2.3. Отображение, пропущенное через коразмерность к
3. Отображения 5” —► К”1, т >
3.1. Критерий непрерывной реализуемости
3.2. Подтаскивание по остовам
3.3. Неполнота первого препятствия
Приложение. Гомологии Стинрода-Ситникова (Бореля-Мура) и бордизмы Кошорке-Ахметьева

Напомним, что под вложением понимается отображение, являющееся гомеоморфизмом на свой образ, а под изотопией - гомотопия в классе гомеоморфизмов, тождественная при нулевом значении параметра.
Непрерывное отображение / компактного полиэдра X в PL-многообразие Q (без края) называется дискретно реализуемым [Si], если для каждого е > О оно ^-аппроксимируемо вложением, и изотопически реализуемым [ТЦШ], если существует псевдоизотопия Ht: Q —» Q,t G I — [0,1] (т.е. изотопия с параметром t а [0,1), Но = idQ, продолжающаяся до непрерывного отображения при t —> 1), переводящая в / некоторое вложение g (т.е. Hi о g = /). Очевидно, изотопическая реализуемость влечёт дискретную. Вопрос о справедливости обратной импликации был поднят Е. В. Щепиным в 1993 году (см. [А1; проблема 2]) и известен как проблема изотопической реализации.
Истоки этого вопроса восходят к проблеме Л. В. Келдыш о реализуемости дико вложенных полиэдров псевдоизотопией подполиэдров, которая была сформулирована в 1966 году (см. [К1]) и решена в последующее десятилетие положительно для диких поверхностей в 3-многообразиях (см. [К1] и обобщение в [Сг]) и диких вложений в коразмерности > 3 [Ed] (см. [Ml; Theorem 3.5]), и отрицательно для некоторых диких узлов в R3 [Sik], [К2]. Также следует отметить, что в силу теоремы Чернавского о локальной стягиваемости группы гомеоморфизмов многообразия [Че], [ЕК] дискретно реализуемые отображения замкнутого компактного многообразия на себя реализуемы изотопически.
Связь с контролируемой топологией может быть описана следующим образом. Из теоремы /3, сформулированной далее во введении, вытекает, что в условиях коразмерности > 3 отображение компактного полиэдра X в PL-многообразие Q изотопически реализуемо, если и только если оно лежит в образе канонического отображения1
е: holink(jVl,X>) —* V,
где М - пространство отображений X —» Q (в компактно-открытой топологии), Т> - «дискриминант», т.е. дополнение в М. к множеству вложений, holink - гомотопический линк в смысле Квинна [Qu], т.е. пространство путей |р: I —* .М, таких что у>-1 (V) = {1} (в компактно-открытой топологии), и отображение е даётся взятием значения в единице.
Легко строятся отображения компактов, реализуемые дискретно, но не изотопически (интересный пример - композиция проекции двух псевдодуг на одну и некоторого вложения последней в плоскость [Ml; Example 1.1]). Однако в случае, когда X - полиэдр, вопрос о существовании таких отображений, особенно в коразмерности > 3, оказался непростым.
Замечание. В этой связи может быть интересен следующий пример. Рассмотрим последовательность отображений : S1 —♦ R2 {О}, таких что fi индуцирует на 7Г умножение на г и совпадает с fi-i вне 2“'-окрестности северного полюса N, которую переводит в 2“'-окрестность начала координат О. Прообраз
'Напомним, что значение этой конструкции основано на теореме Фаделла (см. [HR]), со-гласно которой для произвольного локально-плоского топологического подмногообразия Nn топологического многообразия Мт отображение е: holink(М, JV) —* N есть расслоение Гуревича со слоем Srn~n^1y причём в гладком случае е послойно гомотопически эквивалентно сферизации нормального расслоения.

О при предельном отображении /: S1 —♦ R2 есть N; образ / можно описать как объединение двух спиралей, закрученных вокруг О в противоположных направлениях. Может показаться «очевидным», что / не допускает мгновенного снятия с начала координат, т.е. не существует гомотопии ht: Sl —> R2, такой что ho — } и образ ht не содержит О при t > 0. Но это неверно, в чём несложно убедиться, заметив, что / является также равномерным пределом нульгомотопных отображений /,': Sl —+ R2 {О}, где /| совпадает с /) вне 4_,-окрестности N, которую переводит в 4""'-окрестность О.
I. Дискретная реализуемость не влечёт изотопическую
Лишь недавно выяснилось, что отображение полиэдра в многообразие, реализуемое дискретно, но не изотопически, существует. А именно, автором было построено такое отображение дизъюнктного объединения 3-мерного шара и полнотория в К6 [Ml; Example 1.9].
Пример Ао. Построим сначала отображение /: S1 х В2 —» R3, снимающееся с начала координат сколь угодно малым е-сдвигом (т.е. аппроксимирующееся в С°-топологии отображениями со значениями в К3 0), но не мгновенно (т.е. такое, что не существует гомотопии ht, такой что hi = / и образ ht не содержит начала координат при t < 1).
В полнотории То = S1 х В2 рассмотрим бесконечную цепочку полноториев
... С Т2 С Т[ С Ti С То С Т0,
пересечение которых гомеоморфно 3-адическому соленоиду Ез, причём каждый Tj+1 закручен в Г/ три раза (т.е. включение Х+1 С X/ индуцирует умножение на 3 в одномерных гомологиях), но каждый Т' закручен в Т) только один раз: Г/ = S1 х ^В2 С S1 х В2 = Т). Толстый тор Xj Т/ = S1 х дВ2 х I сначала спроектируем на кольцо дВ2 х I, которое затем профакторизуем по основаниям, так что внешний край дВ2 х 0, являющийся образом тора дТг, целиком сожмётся на северный полюс п полученной 2-сферы, а внутренний край
- на южный полюс. После этого сферу S2 вложим в К3 0 таким вложением St, чтобы при i > 0 её южный полюс перешёл в (п) - предыдущий образ северного полюса, а все остальные точки - в ограниченную компоненту дополнения до Si-i(S2) в R3. При этом требуется дополнительно, чтобы каждый образ Si(S2) попадал в ^-окрестность начала координат. Этим отображение / определено на всех толстых торах X) Т]', которые переводятся им в сферы Si(S2), причём внешние края ОТ) переходят в точки Si(n), а внутренние ОТ)'
- в точки Sj+i(n). Положим / на каждом изгрызенном полнотории Т/ T,+i равным Sj+i(n), и продолжим его по непрерывности на предельный соленоид Ез, который тем самым попадёт в начало координат.
Отображение / аппроксимируется отображениями ft со значениями в R3 , где U совпадает с } вне Х)+1, который переводит в s1+1 (п). Покажем, что не существует мгновенного снятия / с начала координат. Пусть р - образ южного полюса при so- Достаточно показать, что для любого отображения <р (Т0,<ОТ0) —> (К3 ,р), достаточно близкого к /, абсолютная величина различающей d(ip, /о) 6 //2(Т0, ОТо; 7t2(R3 )) сколь угодно велика. В самом деле, поскольку каждый гомоморфизм в строчке
■ • ■ - Я2(Го,Го Га) - Я2(Т0,Т0 7) - Н2(Т0,дТ0)

Ь(кх + 1у) = х + у, то есть {Ьк — 1)х = (1 — Ы)у. Поскольку 1*<р = <р1*, должно быть выполнено и (1—Ы)х = (Ьк — 1)у. Вычитая это равенство из предыдущего, получим (Ьк—2+Ы)(х+у) = 0, но так как - мономорфизм, это означает, что Ь(к + 1) — 2, то есть Ь — 2 и к + 1 = 1. Положим г = к — 1, тогда 2(кх + 1у) = х + у перепишется как г(х — у) = 0, причём г = 2к — 1 нечётно.
Предположим, что имеет место равенство рх = ду, где р, д € 2. Снова используя симметрию = <рЬ*, находим (р — д)(х + у) = 0, что в силу инъек-тивности <реч означает р— д. Следовательно, циклический 2[2/2]-модуль пп <р получен из кольца 2[2/2] факторизацией по идеалу, порождённому несколькими элементами вида р,(£ — Ю, или, что тоже самое, одним элементом р(£ — 1£), где р - наибольший общий делитель всех Рг- Поскольку тем самым р | г, это р нечётно. Если р = 1, образ относительных когомологии сферы

Z ^ ZeZ и z
8foгg аН
при гомоморфизме <р приобретает вид абсолютных
зуш afoгg
г !=: 2 ^ 1/2.

Поскольку а не лежит в Ш1 sforg, но попадает туда при умножении на некоторое т, элемент аИ(а) € 2/2 нетривиален. Если р > 1, то К = Ш1 вЕо^ П нп в силу нечётности р, поэтому ак(пп р) = нл <р8ке есть циклическая группа порядка 2р:
вут afoгg
2 ±5 2 ® 2/р 1/2 ® 1/р.

Так как а не лежит в К, но попадает туда при умножении на 2, аН(а) есть единственный элемент порядка 2 в этой группе.
Наконец, поскольку в ни р элементы порядка 2 отсутствуют в обоих случаях, акп^аИ^а) = 0. Значит, в силу точности второй последовательности Смита, а!Ца) делится на класс Эйлера. □
Окончание доказательства альтернативы 2.2.2. Подспектр Я содержится в подспектре аЙ_1(Т) спектра из групп Н2п-1(Х, {/,), где Т состоит из циклических подгрупп 7*, порождённых элементами !?,(/) = (.Ф)*кеи(^ксИ) нити /)(/) 6 Ит Н1^{Х,и/). Предположим, что нить !?(/) - элемент конечного порядка. Тогда, как следует из леммы 2.2.1, если короткая точная последовательность спектров
0—> Н%/-Х,и/)/те-♦аЙГЧТ) — Т
оказалась Ш-расщепимой, она расщепляется (в категории спектров б), и решение (4) можно спроектировать в эквивариантный спектр, получив, что / изотопически реализуемо. Если же Ш-расщепимость отсутствует при ограничении спектра на сколь угодно далёкие бесконечные хвосты, подспектр нп бГо^ на некоторых сколь угодно высоких этажах не сервантен в соответствующих этажах спектра ак-1 (Т) = (пп в&и£)5. Но тогда найдутся и сколь угодно высокие этажи подспектра 5 Л пп не сервантные в своих этажах спектра