Движения в пространствах финслерова типа со специальными метриками

• Автор: Сурина, Ольга Петровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 89 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Дифференциально-геометрические структуры
финслерова типа
§1. Финслеровы пространства и их обобщения
§2. Нелинейные связности
§3. Финслеровы связности и связность Картана
§4. Тензоры кривизны
§5. Производная Ли. Инфинитезимальные движения
Глава 2. Обобщённые финслеровы пространства со
специальными метриками
§6. Финслерова связность и связность Картана
§7. Движения. Основные свойства
§8. Максимально подвижные пространства
§9. Классификация двумерных пространств по группам движений
Глава 3. Обобщённые лагранжевы пространства со
специальными метриками
§10. Пространства 9В ” . Основные свойства
§11. Тензоры кривизны
§12. Пространства изотропной кривизны. Теорема Шура
§13. Движения в пространствах &п
§14. Эрмитовы метрики на касательном расслоении
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В 1983 году в работе [43] 'У/агапаЬе Б., 1кес1а Б., 1кес1а Б. выделили класс обобщённых финслеровых пространств .:/п , метрика в которых определяется с помощью тензора
где ytJ (х) - метрический тензор риманова пространства V", а а(х,у)
скалярная функция, заданная на его касательном расслоении, однородная нулевой степени по координатам касательного вектора у. В данной и последующих работах [44], [26] авторами были предложены различные варианты внесения связностей, согласованных с метрикой (1), при этом исследовались и пространства с метрикой (1), в которой функция а(х,у) не обязательно однородная нулевой степени по у (обобщённые лагранжевы пространства S’"). В 1988 году Kikuchi S. [30] доказал существование и единственность связности Картана для пространств S" с метрикой (1). В 1984 году Ikeda S. в заметке [26] “ О финслеровых метрических структурах гравитационного поля “ (а затем и в работе [27] 1988 года “ Теория поля в финслеровых пространствах“) предложил при построении теории поля в качестве модельных пространств рассматривать пространства либо с метрикой (1), в которой риманов метрический тензор умножается на скаляр, либо с метрикой
где к риманову метрическому тензору прибавляется некоторый тензор финслерова типа. Так в работе [29], в качестве такой “добавки” берётся тензор
где с = const ( интерпритируется, иногда, как скорость света ), а в работах
gg(x,y) = e2alx,y) yv(x)

gv=yiJ(x)+hvy)’

[Ю], [11],
где а либо функция точки х базисного многообразия, либо const.
Дальнейшие исследования обобщённых финслеровых пространств 9* (обобщённых лагранжевых пространств (£п ) с метриками' (1) и (2) проводились в связи с их возможными приложениями. [18], [19], [20], [21], [26], [27], [28], [32], [36], [37]. Заметим также, что в 1995 гоу в Сиэтле (США) проходила летняя научная конференция по финслеровой геометрии, в итогах которой было опубликовано более 30 докладов по финслеровой геометрии и её приложениям (РЖМАТ, 1998г., 9А479 К.)
Составной частью геометрии финслеровых и обобщённых финслеровых пространств является теория движений. Первые исследования по теории движений финслеровых пространств принадлежат Кнебельману [31]. Он, в частности, доказал, что размерность группы Ли движений G r финслерова пространства F" не превосходит п (п +1) / 2 и не имеет подгрупп состоящих из движений, действующих по общим траекториям, а пространства F" , допускающие группу движений максимальной размерности г = п (п + 1) / 2 являются римановыми пространствами постоянной секционной кривизны. Если финслерово пространство F" положительно определённой метрики допускает группу движений Gг размерности г>п(п-1)/2 + 1, то оно является римановым пространством постоянной кривизны (Wang H.S. [42]). Для финслеровых пространств знакопеременной метрики это утверждение имеет место при г>п(п-1)/2 + 2 (А.И. Егоров [5]). Финслеровы пространства с группами
движений размерности п (п-1 ) / 2 + 1 найдены Tashiro I. [41], а с группами движений размерности п (п-1) /2 + 2 А.И.Егоровым [5]. Классификация двух и трёхмерных финслеровых пространств по группам движений дана З.Н.Четыркиной [14], а четырёхмерных Л.С.Горшковой [2]. А.Моор [39] указал на возможность существования

иЦ (7.10)
Свернув (7.10)с у], полним
Н™ЬГ1 = 0 , (7.11)
где матрица Я™ имеет вид (3.22) и, как было показано в предыдущем
параграфе, является невырожденной. Следовательно, ЬГ*!т
и как следует из (7.10), ЬГ*‘к - 0 . Равенства ЬС]к
выполняются в силу перестановочности производной Ли и дифференцирования по координатам касательного вектора.
Замечание. Другие связности, согласованные с метрикой, движения пространства &п с метрикой (6.1) могут и не сохранять.
Пусть <р, и у/, - однопараметрические группы преобразований многообразия М, индуцирующие линейно независимые векторные поля X и У, такие что У = 2 (х) X. Это означает, что точки многообразия перемещаются под действием этих групп по одним и тем же траекториям с различными скоростями.
Теорема 7.3. Группа движений обобщённого финслерова пространства &п с метрикой (6.1) не содержит однопараметрических подгрупп, действующих по общим траекториям.
Доказательство: Совокупность всех однопараметрических подгрупп, действующих по общим траекториям, образует подгруппу С (г >2) группы движений пространства Гп . Пусть X;
С г и Xа - Э, - их запись в локальных координатах. Систему координат в окрестности каждой точки можно выбрать так, чтобы траектории группы Сг были х1 линиями, тогда Xа =Е,1а(х ,хп)д1. Переменная х1
испытывает на каждой траектории преобразование одной из групп, действующей в одномерном пространстве. Но каждая такая группа подобна либо проективной группе прямой, либо её двучленной или одночленной