Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на однородных многообразиях

• Автор: Платонов, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 228 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Общие результаты об описании подмодулей в модулях
Хариш - Чандры
Глава 2. Основные классы функциональных пространств и общие
свойства инвариантных подпространств
Глава 3. Подпространства, инвариантные относительно
обобщенных сдвигов
§3.1. Общие свойства обобщенных сдвигов и формулировка
результатов
§3.2. Доказательство теоремы 3.1.1 (случай оператора Бесселя)
§3.3. Доказательство теоремы 3.1.1 (случай оператора Якоби)
Глава 4. Инвариантные подпространства в функциональных пространствах на симметрическом пространстве 5О0(п,1)/5О(п)
§4.1. Формулировка результатов
§4.2. Ячейки инвариантных подпространств
§4.3. Редукция задачи к описанию ячеек
§4.4. Вычисление операторов Д, Х±
§4.5. Доказательства теорем 1(1) и 2(1)
Глава 5. Инвариантные подпространства в функциональных пространствах на симметрическом пространстве 5П(п, 1 )/и(п)
§5.1. Формулировка результатов
§5.2. Редукция задачи к описанию ячеек
§5.3. Вид оператора А в пространстве
§5.4. Вычисление операторов Х±
§5.5. Доказательства теорем 1(11) и 2(11)

Глава 6. Инвариантные подпространства в функциональных пространствах на симметрическом пространстве 5р(1, п)/5р(1) х 5р(п)
§6.1. Формулировка результатов
§6.2. Переход к пространствам
§6.3. Вид оператора А в пространстве
§6.4. Вычисление операторов Х± и доказательства
теорем 1(111) и 2(111)
Глава 7. Инвариантные подпространства в функциональных
пространствах на особом симметрическом пространстве
§7.1. Формулировка результатов
§7.2. Переход к пространствам
§7.3. Вид оператора Лапласа - Бельтрами в пространстве .
§7.4. Вычисление операторов Х± и доказательство
теорем 1(1У) и 2(ГУ)
Глава 8. Инвариантные подпространства в функциональных
пространствах на евклидовом пространстве
§8.1. Формулировка результатов
§8.2. Доказательства теорем 8.1.1 и 8.1.
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Общий тип задач, которые рассматриваются в диссертации можно описать следующим образом. Пусть группа Ли О транзитивно действует на гладком многообразии М. Для д Є С и любой функции /(ж) на М положим
(я-Ы/).(я) = }'{д~1х). (0.1)
Локально выпуклое пространство (ЛВП) Т, состоящее из комплекснозначных функций на М (обычных или обобщенных), будем называть 7г-инвариантным, если из /(ж) £ 7 и д Є С следует, что тг(д)/ Є Т и отображение д —^ !г(^)/ із С и 5 непрерывно. В этом случае операторы к(д)т (будем обозначать их просто через ж(д)) определяют квази-регулярное представление группы (? в топологическом векторном пространстве Т. Линейное подпространство Н С. Р будем называть инвариантным подпространством (сокращенно ИПП), если оно замкнуто и 7г-инвариантно. Одной из основных задач гармонического анализа на группах Ли является задача об описании всех ИПП для конкретных групп Ли и конкретных функциональных пространств, выделяемых различными условиями гладкости и роста функций.
Перечислим некоторые результаты ( здесь мы не будем касаться наиболее разработанных случаев, когда группа Є компактная или когда Т - гильбертово пространство и квазирегулярное представление унитарно).
В работе Л. Шварца [1] рассматривался случай С — М = К, причем Е действует на М. сдвигами, Т = С(Ш) или Т = С°°(М.). Л. Шварц показал, что в этом случае любое ИПП совпадает с замыканием линейной оболочки квазимногчленов Г(х) е , где Р{х) - полином, А Є С. Эквивалентно можно сказать, что любое ИПП совпадает с замыканием конечной или счетной суммы подпространств вида ІД,г, где Уд,г ~ г-мерное линейное подпространство, натянутое на функции
или, что то же, Ууг - множество решений уравнения (^ — А) / = 0. Контрпример Д. И. Гуревича [2] показывает, что этот результат не переносится на случай С = М = (п > 2), т. к. при этом существуют

р = I ^2 'lvnCY- где 711 a ~ кратность корня а. Пусть о = К - фик-
сированная точка пространства М. Касательная плоскость Т0М отождествляется с пространством ро. Будем считать, что риманова метрика на М индуцирована формой Киллинга (X, Y) на алгебре Ли до-Так как М = G/K, то любую функцию f(g) на группе G, удовлетворяющую условию f(gk) = f(g) Ук Є К, можно рассматривать как функцию на симметрическом пространстве М. Будем иногда писать /(ж) вместо f(g) при х = дК Е М.
Пусть А - подгруппа Ли группы G, соответствующая подалгебре а0, G — К AN - разложение Ивасавы группы G. Для любого д Е G обозначим через 11(g) единственный элемент из а0, для которого д = иехрН(д)п, где и Е К, п Е N. Для любого Л Е а* сферическая функция <р(д) задается следующей формулой Хариш-Чандры:
Ыд) = J e{iX-p){H(9h)) dk, 9eG.

Функция <р(д) удовлетворяет условию
В частности, <р(д) можно рассматривать как функцию на М = G/K. Особенно важную роль играет сферическая функция
•Мэ) = ) e~*HW»dk. к
Известны следующие оценки для функции ipo{g) (см. [10, гл. IV, упр. В1] или [17, §4.6]):
e~p(h) < (ехрК) < c(l + \h\)de-p(-h (2.14)
где /?, Є 0,1, |[/i|| = (/г, /і)1/2, с = с(М) > 0 и d — d(M) > 0 - некоторые
постоянные.
Используя обозначения близкие к обозначениям Хариш-Чандры, положим
Б(х) := <р0(д), х = до.