Слоения на поверхностях в дополнениях к зацеплениям

• Автор: Казанцев, Александр Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 53 с. : ил.

Содержание
1 Введение
2 Постановка задачи
2.1 Основные определения
2.2 Формулировки изучаемых вопросов . . .
3 Слоения на поверхностях
3.1 Книжные представления узлов и зацеплений
3.2 Шахматные слоения, высекаемые на торах
3.3 Препятствия к упрощению торов
4 Упрощение торов, лежащих в дополнениях к зацеплениям
4.1 Базовый пример
4.2 Пример тора из ЛЭЛ-разложения
4.3 Связь построенных примеров с примерами К. Нг
4.4 Пример с двумя компонентами
5 Упрощение торов, лежащих в дополнениях к узлам
5.1 Частный случай: торы Нг
5.2 Алгоритм нахождения всех торов, имеющих шахматное слоение
5.3 Упрощение торов, имеющих сложность менее
5.4 Иеупрощаемый тор сложности 22

1 Введение
Математическая теория узлов возникла в 19 веке усилиями трех физиков: Дж. Максвелла, П. Тэйта и У. Томсона. Интерес к узлам был поначалу связан с чисто физическими проблемами теории электромагнетизма и изучением строения атома, позднее теория узлов стала развиваться как самостоятельная наука. В конце XIX века в работах [1] и [2] были построены первые таблицы узлов малой сложности. Позже теория развивалась благодаря работам Дж. Александера, М. Дэна, Г. Зейферта, К. Рейдемейстера и многих других математиков.
На этапе зарождения теории узлов последние представлялись регулярными проекциями на плоскость, а движения Рейдемейстера рассматривались как их элементарные преобразования [3], [4]. Позже было придумано другое комбинаторное описание - с помощью так называемых кос (впервые введены Е. Артином в работах [7] и [8]) и движений Маркова [5], [6]. Проблема равенства в группе кос также была решена Е. Артином.
Одним из важнейших направлений в теории узлов является построение алгоритмов (как чисто теоретических, так и работающих на практике) для решения существующих задач. При этом алгоритмические решения некоторых проблем оказываются довольно сложными. Например, алгоритмов, определяющих эквивалентность двух узлов или тривиальность данного узла, не существовало до середины 50-х годов XX века, хотя уже в начале века появились доказательства неэквивалентности и нетривиальности конкретных узлов. Нам также не известно ни о каких попытках построения алгоритма, определяющего является ли узел сателлитным, до этого времени.
Опишем кратко некоторые существующие в теории узлов алгоритмы.
В работе [52] В. Хакеном был построен алгоритм распознавания тривиального узла при помощи нормальных поверхностей Г. Кнезера [9]. В той же работе строятся алгоритмы для вычисления рода узла, а также определения разводимости зацепления.
В [10] X. Шуберт, продолжая работу В. Хакена, построил алгоритм для разложения неразводимого зацепления в связную сумму простых слагаемых. Существование и единственность такого разложения была доказана Шубертом ранее в [11], а на произвольные зацепления этот результат обобщил Й. Хашицуме в [12].

Идеи решения проблемы распознавания зацеплений с помощью исследования их дополнительных пространств были сформулированы В. Хакеном в работах [13], [14]. При этом в реализации этих идей значительный вклад был внесен благодаря развитию теории достаточно больших многообразий в работах Ф. Вальдхаузена [15], Йоганнсона [51], У. Джейко и П. Шалена [48], а также решению Дж. Хемионом проблемы сопряженности в группах классов отображений [16]. Проблема алгоритмической классификации неприводимых достаточно больших многообразий многократно объявлялась решенной [17], [18], [19]. Однако, как указал С. Матвеев [20], этих результатов было все еще недостаточно для завершения программы Хакена. Пробел был заделан С. Матвеевым с помощью более поздних результатов [21], [22]. Полное описание алгоритма распознавания многообразий Хакена, дающего в частном случае алгоритм распознавания зацеплений, можно найти в работе [46]. *.
В силу всего вышесказанного формально вопрос о разрешимости задачи сравнения двух данных зацеплений считается решенным. Однако, алгоритм, описанный в [46], настолько сложен, что реализовать его на практике (в виде компьютерной программы) практически невозможно даже в тех случаях, когда эквивалентность или неэквивалентность данных узлов «очевидна». При этом следует упомянуть, что существует и другой подход к алгоритмической классификации многообразий Хакена, основанный на теореме Тёрстона о гиперболизации [23], [24]. Однако, подробное его описание в литературе отсутствует.
В конце 1960-х в работах Г. С. Маканина [25], и Ф. Гарсайда [26] независимо была решена проблема сопряженности в группах кос. Полученные алгоритмы требовали очень большого перебора. Гарсайд указал также и новый алгоритм для решения проблемы равенства в группе кос, но этот алгоритм также был очень медленным.
Отметим, что примерно до середины 1980-х годов сложность алгоритмов, не связанных напрямую с решением технических задач, не обсуждалась. Интерес к подобным вопросам появился в связи с широким распространением персональных компьютеров, позволивших применять построенные алгоритмы для дальнейшего исследования. В 1980-хх гг.
У. Тёрстон существенно улучшил алгоритм Гарсайда для распознавания кос и получил алгоритм с полиномиальной по длине входа оценкой на время работы. Тёрстон доказал, что группы кос обладают биавтоматной

Рис. 5.8.
Благодаря вышеописанному изменению вложения уменьшается на два количество вершин в слоении на торе (т.е. падает на два сложность слоения) и создается вершина валентности больше, чем четыре (вершина сі в новом слоении). А потому к полученному тору можно применить все процедуры, описанные в главе 3. □
Доказательство. (Доказательство теоремы 5.7) Рассмотрим тор Нг Т, в дополнении к узлу К. Если в Т нет четверок переплетных точек, незацепленных с другими, то применяя лемму 5.13 мы получаем тор Нг, в котором есть по крайней мере одна такая четверка. Применив к такому тору процедуру, описанную в лемме 5.14 мы получаем тор Нг, сложность которого строго меньше сложности исходного. Так как сложность исходного тора конечна, то после конечного количества итераций мы получим тонкий тор. □
5.2 Алгоритм нахождения всех торов, имеющих шахматное слоение
Традиционный способ описания вложения тора в сферу, использовавшийся нами ранее, состоит в изображении последовательности пересечений регулярных страниц (и сингулярных, если это требуется для облегчения понимания) с тором. Для примера см. рисунок 4.4. Как уже отмечалось, этот способ является аналогом для поверхности (в нашем случае тора) книжного представления зацепления. Отсюда возникает идея описывать вложение поверхностей на языке прямоугольных диаграмм. Например, то же самое вложение, что и на рисунке 4.4 можно задать следующей картинкой, изображенной на рис. 5.9.