О совершенных полиэдрах Вороного и Рышкова

• Автор: Барыкинский, Роман Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

1. Проблема разыскания плотнейших решетчатых упаковок шаров. Совершенные формы

2. Обозначения некоторых известных решеток

3. Совершенные полиэдры Вороного и Рышкова.

Их дуальность

4. Алгоритм Вороного. Метод Блихфельдта

5. Женератрисса

6. Основные результаты

Глава
О конечных гранях малой размерности совершенного полиэдра Вороного П(гг). Совершенный полиэдр Рышкова дз
Глава
Относительный совершенный полиэдр Рышкова. РР-разбиение
Глава
О плотнейших решетчатых упаковках шаров в евклидовом пространстве размерности 9, 10, 11 и
Список литературы
Список публикаций автора по теме диссертации

Введение
1. Проблема разыскания плотнейших решетчатых упаковок шаров. Совершенные формы.
2. Обозначения некоторых известных решеток.
3. Совершенные полиэдры Вороного и Рышкова. Их дуальность.
4. Алгоритм Вороного. Метод Блихфельдта.
5. Женератрисса.
6. Основные результаты.
1. Проблема разыскания плотнейших решетчатых упаковок шаров. Совершенные формы. Пусть Еп есть п-мерное евклидово пространство. Рассмотрим в пространстве Е” произвольный репер £ = (О, ё1; Є2, • • •, ё„), т.е. п линейно независимых векторов Єі,в2,... ,ёп пространства Ега с общим началом в точке О Є Е". Множество Гп с Еп всех векторов (точек) вида + 22ё2 +... + гпёп, где (^і, ^2,..., гп) Є йп, называется точечной решеткой (или просто решеткой) ранга п, а репер £ - основным репером решетки Г”.
Параллелепипед, построенный на векторах любого основного репера данной решетки, называется основным параллелепипедом этой решетки.
Пусть £ - основной репер решетки Г". Репер £' является также основным репером решетки Г" тогда и только тогда, когда матрица и линейного преобразования, переводящего репер £ в £', целочисленна и унимодулярна (|с1е4{7| == 1). Отсюда следует, что каждые два основных параллелепипеда решетки Г" имеют один и тот же объем, который будем обозначать через V (Гта).
Если в текущий момент мы рассматриваем решетку Гга относительно ее основного репера 8, то мы также будем для нее использовать обозначение Г£.

Будем говорить, что решетки Г” и Г2 равны (Г” = Г2), если существует движение (1-го или 2-го рода), пространства Еп, переводящее одну из них в другую.
Далее везде под словом "движение"понимается движение только 1-го или 2-го рода.
Решетка ранга к < п называется подрешеткой решетки Гп, если Г71 С Гп, полной подрешеткой - если к тому же П Г'п = Г*, где 7к - мерная плоскость, содержащая решетку Гк.
Каждый вектор решетки Г”, имеющий минимальную положительную длину называется минимальным. Очевидно, что если тп - минимальный вектор, то и —ттг тоже минимальный. Пусть ±т1, • . •, ±та - все минималь-
ные векторы решетки Гп и £ - какой-либо основной репер решетки Гп. Через Ь(Е) будем обозначать множество {±ги±г2,... ,±га е 1п}, где ^ = (ги,гй,...,^) -координаты вектора г = 1,2,...,5.
Через в (Г”) будем обозначать число пар ±т минимальных векторов решетки Г”, через 8П - величину шах 5(Г”), где максимум берется по всем решеткам Г" С Е".
Множество всех п-мерных шаров радиуса г = | шшГ", центрами которых являются точки решетки Гта, называется решетчатой упаковкой шаров, отвечающей решетке Г”, плотностью этой решетчатой упаковки (также для краткости будем говорить плотностью решетки Гга) называется величина

) ~ ^ПЧ(ГП)’ где - объем п-мерного единичного шара. Пусть
Л=811Р{ (Гп) : ГсР}.
Если для решетки Г" выполняется равенство с! (Гп) = то соответствующая решетчатая упаковка шаров

1.9. Оценка числа вершин граней полиэдра П(п) для любого п. Г.Ф.Вороной показал, что
зп<2п-1 (1.9)
для любого п= 1, 2,.... Напомним, что через обозначено максимальное число минимальных векторов решеток ранга п.
Для полноты приведем набросок доказательства этой оценки, данного Г.Ф.Вороным. Пусть £ - произвольный репер в пространстве Е”, - решетка построенная на нем
и £(£) = {±Хі = ±{гіи ..., гіп) : і = 1,..., в} (в = в(Г£)).
Легко проверить следующий факт: вектор примитивен для любых іф = 1,...,з, і ф j. Разобьем множество 27і на 2п классов по модулю 2. Учитывая выше отмеченный факт и то, что векторы т,і (координаты минимальных векторов решетки Г]?) примитивны, получаем, что в класс сравнимый с нулем не попадет ни одного вектора 2і и в каждый другой класс попадет не более одного вектора г*. Отсюда получаем оценку Вороного.
Лемма 1.7. Максимальное число вершин полиэдра П(п) попарно соединенных ребрами равно 2п — 1.
> Из теоремы 1.3 следует, что разность нижних координат вершин полиэдра П(?г), соединенных ребром, является примитивным вектором для любого ребра полиэдра П(гг). Поскольку нижние координаты вершин полиэдра П(?г) примитивны, то проводя такое же рассуждение как и при доказательстве оценки (1.9), получаем, что максимальное число вершин полиэдра П(п) попарно соединенных ребрами не превосходит 2п — 1. Легко проверить, что вершины полиэдра П(п), нижние координаты которых составлены из нулей и единиц попарно соединены ребрами. Лемма доказана.*
Ниже с использованием предыдущих результатов мы