Некоторые применения вещественно факторных отображений в теории топологических пространств

• Автор: Окунев, Олег Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 c. : ил

ОСОБЕННОСТИ ТЕРМИНОЛОГИИ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА I. Вещественно факторные отображения и

6$. -пространства

§ 1.1. Общие свойства вещественно факторных отображений

§1.2. -факторпространства и ж •. Р -тривиальные

отображения

§ 1.3. -пространства

§ 1.4. Функциональная теснота произведений ...

ГЛАВА 2. Об одном способе построения примеров

М-эквивалентных пространств

§ 2.1. Вещественно факторные отображения и
топологические группы
§ 2.2. Основная теорема
§ 2.3. Примеры М-эквивалентных пространств ... .
ГЛАВА 3. Об операции, двойственной операции
хьюиттовского расширения
§ 3.1. Операция функционального X -расслабления
§ 3.2. Двойственность операций хьюиттовского X -расширения и функционального X -расслабления

ЛИТЕРАТУРА
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Понятия факторного отображения и факторпространства относятся к числу фундаментальных понятий общей топологии. Возникшие .-уже на начальном этапе развития этой области математики в работах П.С. Александрова [24] и Р.Л. Мура [43] , уточненные и обобщенные Р. Бэром и Леви [27] , они прочно вошли в ее арсенал. Операция перехода к факторпространству нашла применение в большом количестве топологических конструкций, наряду с операциями тихоновского произведения и перехода• к подпространству. Изучению класса факторных отображений и различных его подклассов - классов открытых, замкнутых, совершенных и других отображений - посвящена значительная часть современной теории непрерывных отображений.
В ряде случаев, однако, переход к факторпространству ограничен тем, что эта операция выводит за пределы класса тихоновских пространств. Такое может произойти даже если рассматриваемое разбиение тихоновского пространства содержит единственный неодноточечный замкнутый элемент. Между тем, требование тихоновости рассматриваемых пространств стало стандартным в большинстве разделов общей топологии, во многом благодаря работам А. Вейля [51] и А.Н. Тихонова [49] , которые показали, что класс тихоновских пространств совпадает с классом ра-вномеризуемых пространств и с классом пространств, имеющих ха-усдорфовы компактные расширения. С другой стороны, в рассуждениях, связанных с факторными отображениями, основную роль часто играет;следующее "свойство деления": если К : X —* У факторное отображение, и j : У —» 2 “ такое отображение,,

ГЛАВА 2. Об одном способе построения примеров М-эквивалентных пространств.
Все пространства, рассматриваемые в этой главе, предполагаются тихоновскими (все -факторпространства, которые в ней встретятся, будут иметь, вид У/^ » гДе К ~ замкнутое подмножество тихоновского пространства у, ; то, что такие пространства - тихоновские, следует из предложения (1.2.4)).
§ 2.1. Вещественно факторные отображения и топологические группы.
В главе I были получены примеры -факторных, но не факторных отображений. Оказывается, в категории топологических групп эти понятия совпадают.
(2.1.1) Предложение. Пусть - непрерывный
гомоморфизм топологической группы на топологическую
группу , И ДЛЯ любой топологической группы 6*3 каждый
К- -непрерывный гомоморфизм ^ : 6'^-^ (З^ непрерывен. Тогда гомоморфизм открыт.
Доказательство. Подгруппа И = fy.CZ (Ь замкнута и нормальна в группе . Пусть (у - топологическая факторгруппа группы ПО подгруппе Н , и -
каноническая проекция. Изоморфизм С группы 6" на группу (тд такой, что ^ = боОГ , очевидно существует и непрерывен. Изоморфизм, ^ , обратный к С , -непрерывен,
так как % = X . По условию, изоморфизм ] непрерывен. Значит, с - топологический изоморфизм группы (У на группу