Конформно-плоские метрики и псевдоевклидово пространство

• Автор: Славский, Виктор Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 226 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Метрики ограниченной кривизны
1.1 Одномерная секционная кривизна
1.2 Ограничение снизу 1— кривизны
1.3 Метрики с ограниченной кривизной
1.4 Метрики и выпуклые подмножества II
1.5 Полярное преобразование
2 Метрики неотрицательной А-мерной секционной кривизны
2.1 Определение и свойства функций класса Ри
2.2 Интегральные неравенства для функций класса Ри(.Р>)
2.3 Представление функций класса В%(Яп) в виде граничных значений гипергармонических функций
2.4 Свойства функций класса Р-2 (Д")
2.5 Локальные свойства функций из класса Рг(Р)
2.6 Особые точки функций класса Р?{Р)
3 Метрики ограниченной интегральной кривизны
3.1 Устойчивость в теореме Шура для кошформно-плоских метрик107
3.2 Локальная оценка отклонения для двумерного многообразия
3.3 Об устойчивости евклидовой структуры при малой интегральной кривизне
3.4 Оценки отклонения для конформно-плоской метрики

4 Конформная развертка кривой риманова пространства в
пространство Минковского
4.1 Структурные уравнения группы 0(п + 1,1)
4.2 Конформная связность Картана
4.3 Развертка кривой и ее свойства
4.4 Построение отображения риманова пространства в изотропный конус пространства Минковского
4.5 Конформно-нормальная система координат
4.6 Конформно-плоская метрика Риччи соприкасающаяся с ри-
мановой метрикой
5 Квазнгнперболические метрики
•5.1 Определения и формулировка результатов
5.2 Обобщенная одномерная секционная кривизна конформноплоской метрики
5.3 Обобщенная одномерная секционная кривизна липшицевой
конформно-плоской метрики в точке
5.4 Верхняя и нижняя квазиметрика Пуанкаре для области
5.5 Примеры квазиметрик Пуанкаре
5.6 Пространство Минковского размерности пять и его интерпретация в евклидовом пространстве
5.7 Квазиметрика Пуанкаре для какаловой области в иространстве198
6 Погружение конформной-плоской метрики
6.1 Необходимые условия на метрику, погружаемую в виде ква-
зиомбилической поверхности
6.2 Изометричное погружение двумерных метрик в пространство Лобачевского
Литература

Введение
Конформная геометрия, и в частности теория конформно-плоских пространств, нанимав і одну из ключевых позиций в современных математических исследованиях. Эта область исследований оказалась на стыке таких интенсивно развивающихся разделов математики, как геометрия пространства Лобачевского, псевдоевклидова геометрия, теория римановых пространств, теория вещественных функций, а также ультрасовременных физических теорий.
Важную роль в этой теории играют обобщенные (слабо регулярные) конформно-плоские метрики с особенностями. Связано это с общим гносе-логически.м принципом утверждающим, что основная информация об объекте исследований, как правило, может быть извлечена из его особенностей. Кроме того в исследованиях последних десятилетий по римановой геометрии ведущую роль стали играть нерегулярные обобщенные римановы пространства.
В данной работе развивается новый подход к решению задач теории многомерных слабо регулярных конформно-плоских метрик, основанный на исследовании внешней геометрии поверхностей псевдоевклидова и гиперболического пространства, технике интегральных представлений Ю.Г. Решетника и методах теории потенциала.
Конформно-плоские метрики и псевдоевклидова геометрия
Но своим функциональным свойствам конформно-плоские метрики можно рассматривать как объекты псевдоевклидова пространства. Это следует во-первых из того, что группа мебиусовых преобразований изоморфна группе Лоренца преобразований псевдоевклидова пространства Минков-ского, во-вторых имеется непосредственное вложение конформно-плоской метрики заданной на сфере в изотропный конус пространства Минков-ского. Конструкция этого вложения известна давно [11], но эффективно использоваться начала лишь сравнительно недавно [25]. Вероятно, первое

Доказательство. проверяется непосредственно.
Замечание 1.1.4. Отметим, что 1/(Зп) С С+ - пространственно подобная п-мерная поверхность; обратно: каждая такая замкнутая поверхность в С+ определяет конформно плоскую метрику на Зп.
Замечание 1.1.5. Конформно плоская метрика бх2//2(х) постоянной кривизны к. имеет вид ?(х) = 8§Ш[ + (£>, х), где к = е1 — |6|2; ей соответствует сечение конуса С+ гиперплоскостью {х,Ь) + е( = 1. Причем, если к ф 0, то все эти гиперплоскости касаются гиперболоида
Нк={[х,0-. |.т|2-С2 = -1/Ч, (1.1.9)
при к = 0 гиперплоскость параллельна образующей конуса С+.
Замечание 1.1.6. Мебиусову преобразованию сферы Б” соответствует ’’вращения” поверхности 1у{Зп) на конусе С+ под действием псевдоортого-нальной группы (К {чЗ 1.1:. т. е. тех псевдоортогональных преобразований Дп+2, которые переводят С+ в себя и сохраняют ориентацию.
Замечание 1.1.7. Если п = 2 и метрика задана на подобласти О С 5”, то возможны конформные отображения, отличные от мебиусовых; им соответствуют нетривиальные изгибания поверхности //(Л) на конусе С'+.
1.2 Конформно плоские метрики с ограниченной снизу одномерной секционной кривизной.
Пусть У” С С+ - п-мерная замкнутая пространственно подобная поверхность класса С2. Нетрудно заметить, что она диффеоморфна сфере. Фиксируем число к и проведем через точку и>о € И гиперплоскость в Мп+ , содержащую в себе касательную плоскость Т„0{Р) и касающуюся гиперболоида (1.1.9) при к ф 0, а при к — 0 гиперплоскость, параллельную образующей конуса С+; так определенная гиперплоскость единственна. Если /(х) - метрическая функция на 5™, соответствующая поверхности